Higgs场与电弱相变

2023.12.07 学习 0 评 584 度

Part 1 对称性自发破缺与质量来源

1.1 对称性自发破缺

“对称性自发破缺”这个词，在物理系本科生的四年里应该遇见的次数不少，从热统课上的铁磁体的朗道连续相变理论，到固体物理课上的超导的BCS理论中，都能见到这个概念。

历史上对称性自发破缺这一概念的发展，和本科学习的过程是类似的。朗道的在铁磁体的对称的哈密顿量中，在临界温度以下时，能量最低的基态序参量不为0，铁磁体显现出有序的磁排列，物理现象的对称性被打破。此后，南部阳一郎注意到了量子场论的真空与固体多体体系的基态的相似之处，把这一概念迁移到了粒子物理。

在量子场论中，规范对称性是极其重要的。但是在规范场的拉格朗日密度中加入质量项，则会破坏规范对称性。但是，传递弱相互作用的中间玻色子具有十分大的质量，这绝非是规范对称性的微小瑕疵所能解释的。有什么办法，既能保证拉格朗日密度的规范对称性，又能赋予粒子质量，这就是对称性自发破缺以及Higgs机制解决的问题。

1.1.1 一个最简单的例子——$\phi^4$

我们从实标量场的$\phi^4$模型出发，来介绍对称性自发破缺是怎样的。

实标量场的$\phi^4$模型的拉格朗日密度为

$$ \mathcal L = \frac 1 2 \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi -\frac 1 2 m^2 \phi^2 -\frac{\lambda}{4!}\phi^4 $$

我们把质量项变个号，把模型修改为（既然我们都费工夫改正负号了，那么不用说这里$\mu^2 \ge 0$）

$$ \begin{aligned} \mathcal L & = \frac 1 2 \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi +\frac 1 2 \mu^2 \phi^2 -\frac{\lambda}{4!}\phi^4 \\ & = \frac 1 2 \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - V(\phi) \end{aligned} $$

这一拉格朗日密度在$\phi \to -\phi$下是不变的，具有Z2对称性。

那么势场就为$V(\phi) = -\frac 1 2 \mu^2 \phi^2 +\frac{\lambda}{4!}\phi^4$。（图不想画了，反正就是个w）

在$\pm \phi_0$处，$V(\phi)$取最小值，对应着体系的基态。$\abs{\bra 0 \phi \ket 0 } = \phi_0 = \sqrt{\frac 6 \lambda}\mu$，被称为$\phi$的真空期望值。

之前我们遇到的场的真空期望值都为0，但是在这里事情发生了一些变化。场函数为0时对应着的不再是真空/体系的基态。物理上，我们关心的是场在真空基础下的激发。于是，我们可以将场函数做一个平移，将激发部分提取出来。在这里我们选取$+\phi_0$为基础的激发。

$$ \phi(x) = \phi_0 + \sigma(x) $$

现在我们把前面$\phi(x)$的拉格朗日密度改写为$\sigma(x)$的函数

$$ \mathcal L = \frac 1 2 \partial_\mu \sigma \partial^\mu \sigma - \frac 1 2 (2\mu^2)\sigma^2 - \sqrt{\frac \lambda 6}\mu \sigma^3 - \frac{\lambda}{4!}\sigma^4 $$

这一拉格朗日密度描述的是，$\sigma(x)$代表了一个具有质量$\sqrt 2 \mu$的玻色子，同时还具有$\sigma^3$,$\sigma^4$阶的相互作用项。注意到，此时的$\phi \to -\phi$的Z2对称性消失了。于是我们可以看到，一个不具有质量的具有一定对称性的玻色子，由于对称性自发破缺，而被赋予了质量。对称破缺的原因在于，体系的真空态是简并的，而我们选取了特定的真空态作为激发的基础。

这里的对称性是分立的，或者说仅是一维的对称变换，那么连续的对称变换下的对称性自发破缺是怎样的呢？

1.1.2 更复杂些的例子——复标量场的$\phi^4$模型

复标量场的$\phi^4$模型的拉格朗日密度为

$$ \mathcal L = \partial_\mu \phi^\dagger \partial^\mu \phi -m^2 \phi^\dagger \phi -\lambda(\phi^\dagger \phi)^2 $$

同样地，我们把质量项变个号

$$ \mathcal L = \partial_\mu \phi^\dagger \partial^\mu \phi +\mu^2 \phi^\dagger \phi -\lambda(\phi^\dagger \phi)^2 $$

这一拉格朗日密度具有U(1)对称性，也即拉格朗日密度在$\phi \to \phi' = e^{i\alpha}\phi$下不变，这是一连续的对称变换。

于是势场$V(\phi^\dagger,\phi) = -\mu^2 \phi^\dagger \phi + \lambda \phi^\dagger \phi$。在$\phi_0^\dagger \phi_0 = \abs{\phi_0}^2 = \frac{\mu^2}{2\lambda}$处势场V取最小值，体系处于基态。

我们不妨选取$\phi_0 = \frac{\mu}{\sqrt{2\lambda}} = a$。需要注意的是，这一选取实际上具有相位的任意性，但选取固定的相位便破坏了对称性，这就便是对称性自发破缺了。

我们将$\phi$进行平移并展开

$$ \phi(x) = \phi_0 +\frac{1}{\sqrt{2}}(\phi_1(x)+ i \phi_2(x)) $$

其中$\phi_1(x)$和$\phi_2(x)$均为实标量场，且真空期望值为0.

于是复标量场的拉格朗日密度变为

$$ \mathcal L = \frac 1 2 \partial_\mu \phi_1 \partial^\mu \phi_1 + \frac 1 2 \partial_\mu \phi_2 \partial^\mu \phi_2 -2\lambda a^2\phi^2_1 - \sqrt{2} a\lambda \phi_1(\phi_1^2+\phi_2^2)-\frac \lambda 4 (\phi_1^2+\phi_2^2)^2 $$

于是$\phi_1$代表具有质量$2a\sqrt \lambda$的玻色子，而$\phi_2$代表的玻色子无质量。这一无质量的玻色子被称为Goldstone 玻色子，这是由对称性自发破缺导致的。连续的对称性的破缺导致基态出现连续的简并，体系在这些简并的基态相互转移并不会导致能量的变换，这也就是这一玻色子不具有质量的原因，这一无质量的玻色子实际上代表着相位选取的任意性。

1.1.3 更进一步——Linear Sigma Model

我们知道，U(1)对称性和SO(2)其实没多大差别，这两玩意是同构的，所以上面我们讨论的复标量场，实际上就是两个实标量场（或者说是二元的矢量场）满足SO(2)对称性。那么，更一般一点的呢？现在我们来讨论N个标量场，或者说是一个N元矢量场，记为$\phi^i$，仿照前面，写出体系的拉格朗日密度

$$ \begin{aligned} \mathcal L = \frac 1 2 \partial_\mu \phi_i \partial^\mu \phi^i + \frac 1 2 \mu^2 \phi^i \phi_i -\frac \lambda 4 (\phi^i \phi_i)^2 \end{aligned} $$

由此，体系具有对称群O(N)，也即在变换$\phi^i \to \phi^j = R^{ij}\phi^i$下拉格朗日密度形式不变。

和前面一样，我们能够得到在$\phi^i\phi_i = (\phi^i)^2 = \frac{\mu^2}{\lambda} = v^2$时，势函数处于最小值。为了方便，我们不妨选取$\phi_0^N = v = \frac{\mu}{\sqrt \lambda}$，即$\phi^i_0 = (0,0,...,\frac{\mu}{\sqrt \lambda})$
于是，我们可以将$\phi^i$写为

$$ \phi^i(x) = (\pi^k(x),v+\sigma(x)),~~k = 1,2,...,N-1 $$

于是拉格朗日密度为

$$ \begin{aligned} \mathcal L =& \frac 1 2 (\partial_\mu \pi^k)^2 + \frac 1 2 (\partial_\mu \sigma)^2 - \frac 1 2 (2\mu^2)\sigma^2 \\ &- \sqrt \lambda \mu \sigma^3 -\sqrt \lambda \mu (\pi^k)^2 \sigma - \frac \lambda 4 \sigma^4 - \frac \lambda 2 (\pi^k)^2 \sigma^2 - \frac \lambda 4 [(\pi^k)^2]^2 \end{aligned} $$

于是我们可以看出，$\sigma$代表的玻色子具有质量$\sqrt 2 \mu$，而$\pi^k$代表N-1个无质量的玻色子。
我们看到，原来的O(N)对称性被打破了，取代的是$\pi^k$满足的维数更低的O(N-1)对称群。实际上，$\sigma$场描述的是$\phi^i$场满足的势场的半径方向，其二阶导数不为0；而$\pi^k$场则描述与$\sigma$场正切的方向，$\pi^k$场改变只是使$\phi^i$场在势能最低的N-1维的超曲面中发生“相位”的变换，而不会导致能量的改变。这也就是$\sigma$场具有质量，而$\pi^k$场不具备质量而满足O(N-1)对称性的原因。

这里O(N)破缺剩下O(N-1)对称性产生了1个Higgs粒子和N-1个Goldstone玻色子。一般而言产生Goldstone玻色子的个数$N_G$等于真空的对称性发生破缺的维数，而Higgs粒子数则为$N-N_G$。实际上，在这个例子中，如果势能的形状不是这样，破缺后的对称性则不一定是O(N-1)，那么这时候Goldstone玻色子和Higgs粒子的个数也可能会发生变化。

1.1.4 Goldstone 定理

上面1.1.2和1.1.3出现的这种由于连续对称性发生的自发破缺而产生的无质量的玻色子被称为是Goldstone玻色子。连续对称性自发破缺产生无质量的玻色子这一结论是普遍的。这一定理就是Goldstone定理。现在让我们简单证明一下。

考虑一个包含多个场$\phi^a(x)$的体系

$$ \mathcal L = (微分项) - V(\phi) $$

在$\phi^a_0$处，$V(\phi)$取极小值

$$ \begin{aligned}[l] \eval{\frac{\partial}{\partial \phi^a}V}_{\phi_0} = 0\\ \eval{\frac{\partial^2}{\partial \phi^a \partial \phi^b}V}_{\phi_0} = m_{ab}^2\ge 0\\ \end{aligned} $$

其中$m_{ab}^2$代表V中$\phi$的二阶项系数，为质量矩阵。

将V在$\phi_0$处展开，$V(\phi) = V(\phi_0)+ \frac 1 2 (\phi - \phi_0)^a (\phi - \phi_0)^b(\frac{\partial^2}{\partial \phi^a \partial \phi^b}V)_{\phi_0}+...$

$\phi^a$发生连续对称变换$\phi^a\to \phi^a + \alpha \Delta^a(\phi)$，其中$\alpha$是无穷小参数，$\Delta^a$是$\phi^a$的函数。

若要使$\mathcal L$不变，则有$V(\phi^a) = V(\phi^a + \alpha \Delta^a (\phi))$，即$\Delta^a(\phi)\frac{\partial}{\partial \phi^a}V = 0$

在$\phi_0$处，就有

$$ \Delta^a(\phi_0)\Delta^b(\phi_0) \eval{\left(\frac{\partial^2}{\partial \phi^a \partial \phi^b}V \right)}_{\phi_0} = 0 $$

那么则有$\Delta^a(\phi_0)=\Delta^b(\phi_0) = 0$或$\eval{\frac{\partial^2}{\partial \phi^a \partial \phi^b}V }_{\phi_0}$。当$\Delta^a(\phi_0)=\Delta^b(\phi_0) = 0$，如对称变换关于$\phi_0$对称的情况，没有对称性被破坏，结果自然是平凡的。若$\Delta^a(\phi_0) \ne 0$，那么则说明$\eval{\frac{\partial^2}{\partial \phi^a \partial \phi^b}V }_{\phi_0}$具有为零的本征值，那么便能做线性变换，使得$m_{aa} = 0$存在，即关于$\phi_0$被破坏的连续对称性诱导出了无质量的玻色子。

从上面的推导我们还可以注意到，有几个连续对称性被破坏，就会产生多少个无质量的玻色子。于是Goldstone定理证毕。

1.2 规范对称性自发破缺

1.2.1 一个Abelian例——U(1)

考虑一个自相互作用的复标量场及其规范场

$$ \mathcal L = -\frac 1 4 (F_{\mu\nu})^2 + (D_\mu \phi)^2 - V(\phi) $$

其中$D_\mu =\partial_\mu +ieA_\mu$，$V(\phi)=-\mu^2 \phi^\dagger \phi + \frac \lambda 2 (\phi^\dagger \phi)^2$。于是$\phi$的真空期望值为$\bra 0 \phi \ket 0 = \phi_0 = \sqrt{\frac{\mu^2}{\lambda}}$(此处仅取一个作为代表)

体系具有局域U(1)对称性，即在变换$\phi(x)\to e^{i\alpha(x)}\phi(x),~A_\mu(x)\to A_\mu(x)-\frac 1 e \partial_\mu \alpha(x)$下拉格朗日密度不变。

将$\phi(x)$展开为$\phi(x)=\phi_0+\frac{1}{\sqrt{2}}(\phi_1(x)+i\phi_2(x))$，于是

$$ V(\phi_1(x),\phi_2(x)) = -\frac{1}{2\lambda}\mu^2 + \frac 1 2 \vdot 2\mu^2 \phi_1^2 + ... $$

$$ \abs{D_\mu \phi}^2 = \frac 1 2(\partial_\mu \phi_1)^2 + \frac 1 2(\partial_\mu \phi_2)^2 + \sqrt 2 e \phi_0 A_\mu \partial^\mu \phi_2 + e^2 \phi_0^2 A^\mu A_\mu + ... $$

此上两式都略去了场量的三阶项。

于是，我们在上面可以看到$\phi_1$的质量项$\mu^2\phi_1^2$，$A_\mu$的质量项$e^2\phi_0^2 A^\mu A_\mu$，以及$\phi_2$和$A_\mu$的相互作用项$\sqrt 2 e \phi_0 A_\mu \partial^\mu \phi_2$。

注意到，$\phi_2$和$A_\mu$的相互作用项$\sqrt 2 e \phi_0 A_\mu \partial^\mu \phi_2$表明，两个场可以相互转化，这实际上意味着这两个场是同一个东西。

体系具有局域U(1)对称性，于是可以做定域规范变换来消去$\phi(x)$的虚部，也就是上面的$\phi_2$。这样做的话，拉格朗日密度变为

$$ \mathcal L = -\frac 1 4 (F_{\mu\nu})^2 + (\partial_\mu \phi)^2 + e^2\phi^2 A_\mu A^\mu - V(\phi) $$

这样我们发现，原先的Goldstone玻色子消失了，这里出现的两个玻色子都是具有质量的。那么这不是与Goldstone定理矛盾吗？实际上，无质量的$\phi_2$场所代表的自由度被矢量场$A_\mu$给“吃掉”了。我们都知道，对于无质量/自由矢量场而言，其四个自由度中仅有两个自由度是物理的，多余的两个自由度需要使用规范条件消去，换句话说，就是以光速运动的光子虽然自旋为1，具有3个自旋本征态，但是只有两个可观测到的物理的偏振方向。而当自旋为1的玻色子具有质量后，沿着运动方向的自旋就具有了可观测的效应，这一自由度是通过“吃掉”那个无质量的Goldstone玻色子使规范场获得质量而得到的。

1.2.2 非Abelian的情况——SU(2)

考虑具有二维内部空间的复标量场

$$ \phi = \begin{pmatrix} \phi_1 \\ \phi_2 \end{pmatrix} $$

其中$\phi_1$和$\phi_2$是复标量场。
对于常见的标量场的拉格朗日密度，都只包含二阶微分项和场量的偶次项，于是要保证拉格朗日密度不变，变转换为保证矢量长度不变，在这里即是SU(2)。

具有SU(2)对称性的$\phi^4$模型，即在变换$\phi \to e^{i\theta_i \sigma^i/2} \phi$下不变，拉格朗日密度为

$$ \mathcal L = (\partial_\mu \phi)^\dagger \partial^\mu \phi - m^2 \phi^\dagger \phi -\lambda (\phi^\dagger \phi)^2 $$

这里具有的对称性是对全体空间的，现在我们把规范加进去。对于规范U(1)对称性，其协变导数和规范场我们是见过的，而这里的规范SU(2)对称性，对于拉格朗日密度中的场量的偶次项仍然不变，问题还是出在微分项上。
这里不废话，我们直接给出协变导数和规范场

$$ \begin{aligned} D_\mu & = \partial_\mu + ig A_\mu \\ A_\mu & = A_\mu^i \sigma^i/2 \\ F_{\mu\nu}^i & = \partial_\mu A_\nu^i -\partial_\nu A_\mu^i -g\epsilon^{ijk}A^j_\mu A^k_\nu \\ \end{aligned} $$

（注：这里的规范场和规范U(1)的情况相比多了一个指标i，这是因为现在的场$\phi$具有内部空间，于是规范场为了描述$\phi$场的内部空间的SU(2)对称性，也需要一个内部空间）

于是具有规范SU(2)对称性的拉格朗日密度为

$$ \mathcal L = (D_\mu \phi)^\dagger D^\mu \phi - m^2 \phi^\dagger \phi -\lambda (\phi^\dagger \phi)^2 - \frac 1 4 F^i_{\mu\nu} F^{i\mu\nu} $$

当$m^2 < 0 $时，令$\mu^2 = -m^2$，势能最低点处有场$\phi$的真空期望值$\bra{0}\phi^\dagger \phi\ket 0 = - \frac{m^2}{2\lambda} = \frac{\mu^2}{2\lambda}= \frac 1 2 v^2$。
现在我们先不急着选取固定的相位并进行展开，我们来看看体系的自由度。具有二维内部空间的复标量场$\phi$具有4个自由度，而规范场$A^i_\mu$的i有3个取值，即有3种，并且每种具有2个自由度，于是体系具有10个自由度。我们选取固定相位并展开后，规范场$A_\mu^i$被赋予质量，每种的自由度变为3，于是此时$\phi$场的展开部分仅剩1个自由度。

于是我们做展开

$$ \phi(x) = \frac{1}{\sqrt 2} \begin{pmatrix} 0 \\ v + \sigma(x) \end{pmatrix} $$

这样拉格朗日密度改写为

$$ \begin{aligned} \mathcal L =& -\frac 1 4 F^i_{\mu\nu} F^{i\mu\nu} + \frac 1 2 g^2 v^2 A_\mu A^\mu \\ & +\frac 1 2 (\partial_\mu \sigma)^2 -\lambda v^2 \sigma^2 - \lambda v \sigma^3 - \frac 1 4 \lambda \sigma^4 \\ & + g^2 v \sigma A_\mu A^\mu +\frac 1 2 g^2 \sigma^2 A_\mu A^\mu + \frac{1}{4} \lambda v^4 \end{aligned} $$

破缺的3个自由度产生的Goldstone 玻色子变为$A_\mu^i$的多余的3个自由度，规范场$A_\mu^i$具有质量$gv$，而$\sigma$是这里的Higgs粒子，具有质量$\sqrt{2\lambda}v$。
我们看到，这个模型里面有3个参数，而最后的可观测效应里面只有2个和3个参数有关的质量出现，这给在实验上发现Higgs粒子带来了很大的麻烦。

1.3 弱相互作用的GWS理论

1.3.1 有质量的玻色子

Glashow，Weinberg和Salam提出了能够正确的描述弱相互作用的规范对称性自发破缺的模型，在上面SU(2)的基础上加上U(1)便能得到。上面的 SU(2) 对称性被破坏的模型，有了具有质量的玻色子，规范场也被赋予了质量，但是模型中不存在无质量的玻色子，加入的 U(1) 便是来解决这一问题的。

我们为U(1)对称性指定一个1/2的荷，于是场的 SU(2)xU(1) 规范变换为（其中$t^a = \sigma^a/2$）

$$ \phi \to e^{i\alpha^at^a}e^{i\beta/2}\phi $$

此处1/2的荷应为配平系数用，由于$t^a = 1/2 \sigma^a$。

现在我们还是考虑和之前一样的墨西哥帽形势场，$V = -\mu^2 \phi^\dagger \phi+\lambda (\phi^\dagger \phi)^2$，势场极小处我们选取特定的相位$\phi_0=\frac{1}{ \sqrt{2}} \binom{0}{v}$，其中$v = \mu/\sqrt{2\lambda}$。

我们注意到，$\phi_0$在$\alpha^1=0,~ \alpha^2 = 0 ,~ \alpha^3 = \beta$下协变，这就意味着选取特定的相位使 SU(2) 对称性被破坏，而仍保留了U(1)对称性。根据之前的经验，定性的我们可以判断，破缺的SU(2)对称性赋予规范粒子质量，未被破坏的U(1)对称性使无质量的玻色子被保留。

下面来继续仔细讨论，SU(2)xU(1) 规范下的协变微分为

$$ D_\mu = \partial_\mu -igA^a_\mu t^a - i\frac 1 2 g' B_\mu $$

我们把$\phi$展开$\phi = \phi_0 + \phi_1$的话，拉格朗日密度的微分项为

$$ \begin{aligned} (D_\mu \phi)^\dagger(D^\mu \phi) =& (D_\mu \phi_1)^\dagger(D^\mu \phi_1) + i \left[\phi_0^\dagger(gA^a_\mu t^a + \frac 1 2 g' B_\mu)(D^\mu \phi_1) - (D_\mu\phi_1)^\dagger (g A^{\mu b} t^b + \frac 1 2 g' B^\mu)\phi_0 \right]\\ &+\frac 1 2 (0 ~~v)(gA^a_\mu t^a + \frac 1 2 g' B_\mu)(g A^{\mu b} t^b + \frac 1 2 g' B^\mu)\binom{0}{v} \end{aligned} $$

现在我们来仔细看最后一项，带入$t^a = \sigma^a/2$，可以得到

$$ \begin{aligned} &\frac 1 2 (0 ~~v)(gA^a_\mu t^a + \frac 1 2 g' B_\mu)(g A^{\mu b} t^b + \frac 1 2 g' B^\mu)\binom{0}{v}\\ &=\frac{1}{8}v^2g^2 A^a_\mu A^{a\mu} - \frac 1 4 v^2 g g' B^\mu A^3_\mu + \frac 1 8 v^2 g'^2 B^\mu B_\mu \\ &=\frac 1 8 v^2 \left[ g^2(A^1_\mu A^{1\mu} + A^2_\mu A^{2\mu}) +(gA^3_ \mu - g'B_\mu)^2\right ] \end{aligned} $$

于是有3种具有质量的规范场，分别为

$$ \begin{aligned} &W^\pm_\mu = \frac{1}{\sqrt 2}(A^1_\mu \mp i A^2_\mu ),&m_W &= g \frac v 2\\ &Z^0_\mu = \frac{1}{\sqrt{g^2+g’^2}} (gA^3_\mu - g'B_\mu) ,& m_Z &= \sqrt{g^2+g’^2} \frac v 2 \end{aligned} $$

规范场的4个自由度中还有一个是零质量的，为

$$ A_\mu = \frac{1}{\sqrt{g^2+g’^2}} (gA^3_\mu + g'B_\mu) $$

为什么我们这里这样定义这些粒子呢？（特别是$W^\pm$）现在的理由还不是很充分，但是在后面引入与费米子的耦合来描述相互作用时便能见到用处了。

1.3.2 与轻子耦合

弱同位旋

先复习一下费米子的理论，Dirac场的拉格朗日密度写为$\mathcal L = \bar\psi (i\gamma^\mu \partial_\mu -m) \psi$
在这里先假定$m = 0$，别担心，在后面我们会加回来的。于是现在拉格朗日密度为$\mathcal L = i\bar\psi \gamma^\mu \partial_\mu \psi$
可以用手征算符将左旋右旋态解耦，定义

$$ P_L \psi = \psi_L,~P_R \psi =\psi_R $$

注意这里的$\psi_L$和$\psi_R$不是Dirac场的Weyl表象下的左旋右旋分量，而是指左旋和右旋态。

于是现在可以将拉格朗日密度写为

$$ \mathcal L = i \bar\psi_L \gamma^\mu \partial_\mu \psi_L + i \bar\psi_R \gamma^\mu \partial_\mu \psi_R $$

轻子有三代$(\nu_e,e),~ (\nu_\mu,\mu),~ (\nu_\tau,\tau)$，其中中微子只有左旋态，于是轻子的拉格朗日密度

$$ \mathcal L = i \bar e_L \gamma^\mu \partial_\mu e_L + i \bar \nu_e \gamma^\mu \partial_\mu \nu_e + i \bar e_R \gamma^\mu \partial_\mu e_R + (e \to \mu,\tau) $$

现在，我们可以引入弱同位旋的概念，将每代轻子的左旋态放在一个旋量中，即

$$ L_e = \binom{\nu_e}{e_L} $$

这样拉格朗日密度中还剩余右旋态，$R_e = e_R$
于是把拉格朗日密度改写为

$$ \mathcal L = i \bar L_e \gamma^\mu \partial_\mu L_e + i \bar R_e \gamma^\mu \partial_\mu R_e + (e \to \mu,\tau) $$

注意！$L_e$内两个分量是Dirac场的左旋态，而非左旋分量。这里的$\gamma^\mu$也是不变的，只是作用于$L_e$内部的Dirac场左旋态所属的空间。实际上，上面的写法为一种简写写法，便于理解的写法可以写作$\bar L_e^{i\beta} \gamma^\mu_{\alpha \beta} L^{i\alpha}_e$，其中$i$为同位旋空间的指标，$\alpha,\beta$为Dirac旋量所处空间的指标。

上面的拉格朗日密度具有在同位旋空间的SU(2)对称性，对称变换算符记为$T^i = \sigma^i /2$，有

$$ \begin{aligned} L& \to L' = e^{iT^i\alpha^i}L\\ R& \to R'=R \end{aligned} $$

这里的$T^i$只对同位旋空间起作用。

这里同位旋空间的SU(2)对称性和自旋里的一致（实际上，同位旋这一概念就是从自旋迁移而来），二分量的L的同位旋量子数$I = 1/2$，$I^3_{\nu_e} = 1/2,~I^3_{e} = -1/2$

但是SU(2)并非此拉格朗日密度仅有的对称性，此拉格朗日密度还具有U(1)对称性。将U(1)对称性的变换算符记为Y，左旋、右旋部分对应的本征值记为$Y_L/2$、$Y_R/2$。这里的本征值$Y$也是一个量子数，称为弱超荷。
于是在U(1)变换下

$$ \begin{aligned} L& \to L' = e^{i\beta Y_L /2}L\\ R& \to R' = e^{i\beta Y_R /2}R \end{aligned} $$

一般地，$Y_L = -1 ,~ Y_R = -2$。

由于Y并非作用于同位旋空间，则有$[T^i,Y]=0$，于是体系的SU(2)xU(1)变换可写为$U = e^{i\beta Y + iT^i \alpha^i}$

弱混合角

现在我们可以写出该体系的协变微分

$$ D_\mu = \partial_\mu -ig A^a_\mu T^a - i g' Y B_\mu $$

根据前一节的讨论，我们在这里把上式用质量本征态下的规范场写出

$$ D_\mu = \partial_\mu - i \frac{g}{\sqrt 2}(W^+_\mu T^+ + W^-_\mu T^-) - i \frac{1}{\sqrt{g^2+g'^2}}Z_\mu (g^2 T^3 -g'^2 Y) - i\frac{g g'}{\sqrt{g^2+g'^2}}A_\mu (T^3+Y) $$

其中$T^\pm = T^1 \pm i T^2$（注：此处的正负号是对应的）

上面的最后一项实际上就表示的是电磁相互作用，电荷量子数有准盖尔曼-西岛关系(quasi-Gell-Mann-Nishijima relation)（此关系实际上是由强相互作用那块迁移过来的，事实上，关于同位旋这些东西其实都是原先研究强相互作用的工具）

$$ Q = T^3 + Y $$

同时我们定义

$$ e = \frac{g g'}{\sqrt{g^2 + g'^2}} $$

这个e实际上就是元电荷量。

对于协变微分中的系数还可以进行改写，注意到规范场的质量本征态$Z_\mu$和$A_\mu$实际上是$A^3_\mu$和$B_\mu$的混合，这一点也可以从$T^3+Y$中看出，实际上是将SU(2)的其中一个维度和U(1)空间进行了混合，或者说是“转动”。这个转动的角度便被称为弱混合角，或Weinberg角，记作$\theta_w$。

$$ \left(\begin{array}{c} Z \\ A \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} \cos \theta_{w} & -\sin \theta_{w} \\ \sin \theta_{w} & \cos \theta_{w} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} A^{3} \\ B \end{array}\right) $$

于是有

$$ \cos \theta_w = \frac{g}{\sqrt{g^2+g'^2}},~~\sin \theta_w = \frac{g'}{\sqrt{g^2+g'^2}} $$

结合此前定义的$e = \frac{g g'}{\sqrt{g^2 + g'^2}}$，$Q=T^3+Y$，可以将协变微分改写为

$$ D_{\mu}=\partial_{\mu}-i \frac{g}{\sqrt{2}}\left(W_{\mu}^{+} T^{+}+W_{\mu}^{-} T^{-}\right)-i \frac{g}{\cos \theta_{w}} Z_{\mu}\left(T^{3}-\sin ^{2} \theta_{w} Q\right)-i e A_{\mu} Q $$

其中$g = \frac{e}{\sin \theta_w}$
于是关于W和Z玻色子的物理中出现的独立参数由$g,g',v$变为$e,\theta_w,m_W$，元电荷量是我们已知的，实验上就只需测量弱混合角以及W玻色子的质量。

注意：此处定义的e为元电荷量，是正值，故此处协变微分最后一项取负号。在QED中e的定义为电子电量，故相差一个符号。

轻子与规范场的耦合

协变微分被确定下来后，现在我们可以来看拉格朗日密度中轻子与规范场的耦合了。
拉格朗日密度为

$$ \mathcal L = \sum_{e\to\mu,\tau} (i \bar L_e \gamma^\mu \partial_\mu L_e + i \bar R_e \gamma^\mu \partial_\mu R_e) $$

将协变微分带入后，可以得到

$$ \begin{aligned} \mathcal L = & \sum_{e\to \mu,\tau}(i \bar R_e \gamma^\mu D_\mu R_e + i \bar L_e \gamma^\mu D_\mu L_e)\\ = & \sum_{e\to \mu,\tau}[(i \bar R_e \gamma^\mu \partial_\mu R_e + i \bar L_e \gamma^\mu \partial_\mu L_e) \\ & - \frac{g \sin^2 \theta_w}{\cos \theta_w} \bar R_e \gamma^\mu Z_\mu Q R_e + \frac{g}{\cos \theta_w} \bar L_e \gamma^\mu Z_\mu (T^3 -\sin^2 \theta_w Q)L_e \\ & + \frac{g}{\sqrt 2}(\bar L_e \gamma^\mu W_\mu^+ T^+ L_e + \bar L_e \gamma^\mu W_\mu^- T^- L_e)\\ & + e \bar L_e \gamma^\mu A_\mu Q L_e + e \bar R_e \gamma^\mu A_\mu Q R_e] \\ = & \mathcal L_0 + \mathcal L_{IZ} + \mathcal L_{IW} + \mathcal L_{em} \end{aligned} $$

其中，与$A_\mu$耦合的项为

$$ \mathcal L_{em} = -e \sum_{e\to \mu,\tau}(\bar R_e A \llap / R_e + \bar L_e A \llap / L_e) = q \sum_{e \to \mu, \tau}(\bar e A \llap / e) $$

这正是电磁相互作用项，$A_\mu$为表述光子的矢量场。

与$W^\pm$耦合的项为

$$ \mathcal L_{IW} = \frac{g}{\sqrt 2} \sum_{e \to \mu,\tau}(\bar \nu_e {W \llap /}^+ e_L + \bar e_L {W \llap /}^- \nu_e) = \frac{g}{2 \sqrt 2}(j^{\mu +} W_\mu^+ + j^{\mu-} W_\mu^-) $$

其中出现的$j^{\mu \pm}$为带电弱流，$W^{\pm}$描述具有电荷的矢量场。

与$Z$耦合的项为

$$ \mathcal L_{IZ} = \frac{g}{2\cos \theta_w} \sum_{e \to \mu,\tau} (\nu_e \gamma^\mu \nu_e - \bar e_L \gamma^\mu e_L + \sin^2 \theta_w \bar e \gamma^\mu e) Z_\mu $$

上面在括号中出现的项为不带电的中性弱流，则$Z$也不带有电荷，故很多时候将不荷电的$Z$写为$Z^0$，与荷电的$W^\pm$相对应。
在该理论提出之时，上述预言的弱相互作用中性流还未在实验上观测到。而当1973年弱中性流在实验上被发现，GWS模型的正确性也被得到了验证。

1.3.3 Higgs场与汤川耦合

作为SU(2)旋量的Higgs场

作为赋予弱同位旋空间SU(2)xU(1)规范对称性的规范玻色子质量的Higgs场，自然也处于弱同位旋空间中。

我们可以把Higgs场写为

$$ \phi = \binom{\phi^+}{\phi^0} $$

基于前面的讨论，我们选取幺正规范，将$\phi$展开

$$ \phi(x) = \frac{1}{\sqrt 2}\binom{0}{ v + H(x) } $$

由于真空是不带电的，故$H$是不带电的，也即$\phi^0$不带电。由此可以通过$Q = T^3 + 1/2 Y_H $定出$Y_H = 1$。

作为SU(2)旋量的Higgs场具有电荷共轭

$$ \phi_c = i \tau^2 \phi^* = \binom{\phi^0}{-\phi^-} $$

其中$\phi^{0*} = \phi^0$，$\phi^{-*} = \phi^+$

费米子质量——汤川耦合

在上节的GWS模型中，为了将轻子的左右旋态解耦，我们暂时丢掉了轻子的质量项，现在我们要做的是把质量加回来。直接在拉格朗日密度里加入质量项会破坏上面的模型中所做的一切，于是我们需要一个机制来赋予轻子质量，这便是轻子的Dirac场与Higgs场的汤川(Yukawa)耦合。

Higgs场和弱同位旋一样，都是SU(2)旋量，此两也能进行耦合。这被称为是汤川耦合

$$ \begin{aligned} \mathcal L_{IH} & = -\sum_{e\to \mu,\tau} Y_e (\bar L_e \phi R_e + \bar R_e \phi^\dagger L_e)\\ & = - \frac{1}{\sqrt 2}\sum_{e \to \mu,\tau}Y_e [\bar e_L (v+H) e_R + \bar e_R(v+H) e_L ]\\ & = - \sum (m_e \bar e e + \frac{m_e}{v}\bar e e H) \end{aligned} $$

其中$m_e = \frac{1}{\sqrt 2 }Y_e v$

上面第一项为轻子的质量项，第二项则为轻子和Higgs场的耦合。注意这里并没有出现中微子的质量项和中微子与Higgs场的耦合，关于中微子的质量目前仍没有得到很好的解决。

由于电荷守恒，故此处轻子的弱同位旋只能和$\phi$进行耦合，而其$\phi_c$则不出现在拉格朗日密度中。

此种Dirac场与标量场相耦合最早由汤川秀树提出，被用来描述核力

1.3.4 含夸克的模型

弱同位旋空间中的夸克与夸克质量

夸克具有三代：(u,d)(c,s)(t,b)。假设和轻子一样，每代夸克的左旋态和右旋态分别构成弱同位旋二重态和单态，

$$ L_u = \binom{u}{d}_L,~ L_c = \binom{c}{s}_L,~ L_d = \binom{t}{b}_L $$

$$ R_u = u_R,~R_d = d_R,~R_c = c_R,~R_s = s_R,~R_t = t_R,~R_b = b_R $$

u,c,t具有电荷2/3，d,s,b具有电荷-1/3。于是可以定出$Y_{qL}=1/3$，$Y_{uR} = 4/3,~Y_{dR} = -2/3$

对于夸克的质量，和前面处理轻子时一样，也可以通过与Higgs场的汤川耦合实现。但和前面不同的是，由于这里每种夸克都有右旋态，而不像轻子中的中微子只有左旋态，这里耦合的应加入Higgs场的电荷共轭。拉格朗日密度为

$$ \mathcal L_{qH} = -\sum (Y_d \bar L_u \phi R_d + Y_u \bar L_u \phi_c R_u)+ \textrm{h.c.}\\ $$

若带入Higgs场的幺正规范，则得到

$$ \begin{aligned} \mathcal L_{qH} & = - \sum_{q=u,d,c,s,t,b} Y_q [(v+H)\bar q q]\\ & = - \sum_{q=u,d,c,s,t,b}(m_q \bar q q + \frac{m_q}{v}\bar q q H) \end{aligned} $$

其中$m_q = \frac{1}{\sqrt 2}Y_q v$

夸克和规范粒子的耦合

实验上发现，强相互作用中夸克的质量本征态并不是弱相互作用中与规范粒子相互作用的本征态。在早期的弱相互作用的唯象理论中，强子弱流中夸克场量在d,s夸克间的耦合由Cabibbo角决定。随后此种混合被扩展到3代夸克，u类夸克和d类夸克独立发生耦合，如下

$$ \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix}_{L,R} = U_{L,R} \begin{pmatrix} u \\ c \\ t \end{pmatrix}_{L,R} ,~~ \begin{pmatrix} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{pmatrix}_{L,R} = D_{L,R} \begin{pmatrix} d \\ s \\ b \end{pmatrix}_{L,R} $$

其中$U$，$D$都是幺正矩阵。

现在，可以写出规范本征态的弱同位旋

$$ L_i = \binom{u_i}{d_i}_L $$

$$ R_{ui} = u_{iR},~R_{di} = d_{iR} $$

由于上面的转动只是发生于u类和d类同类的夸克之间的，他们的电荷和弱同位旋相同，所以算符$T^3$和$Q$与转动矩阵对易。

于是我们现在可以写出夸克在SU(2)xU(1)规范下和规范粒子的耦合的拉格朗日密度

$$ \begin{aligned} \mathcal L_{q} = & \sum_i i(\bar L_i \gamma^\mu D_\mu L_i + \bar R_{ui} \gamma^\mu D_\mu R_{ui} + \bar R_{di} \gamma^\mu D_\mu R_{di})\\ = & \sum_i [ i (\bar L_i \gamma^\mu \partial_\mu L_i+ \bar R_{ui} \gamma^\mu \partial_\mu R_{ui} + \bar R_{di} \gamma^\mu \partial_\mu R_{di})\\ & + \frac{g}{\sqrt 2}(\bar L_i \gamma^\mu W^+ T^+ L_i + \bar L_i \gamma^\mu W^- T^- L_i)\\ & + \frac{g}{\cos \theta_w}(\bar L_i \gamma^\mu Z_\mu (T^3 - \sin^2 \theta_w Q )L_i + \bar R_{ui} \gamma^\mu Z_\mu (T^3 - \sin^2 \theta_w Q )R_{ui} + \bar R_{di} \gamma^\mu Z_\mu (T^3 - \sin^2 \theta_w Q )R_{di})\\ & + e A_\mu (\bar L_i \gamma^\mu Q L_i + \bar R_{ui} \gamma^\mu Q R_{ui} + \bar R_{di} \gamma^\mu Q R_{di})]\\ = & \mathcal L_{q0} + \mathcal L_{qIW} + \mathcal L_{qIZ} + \mathcal L_{qem} \end{aligned} $$

观察上式不难注意到，只有$\mathcal L_{qIW}$中出现了不同种夸克的耦合，除此以外的其他项都是发生同种夸克的耦合，以双线性$\bar u \gamma^\mu u$的形式出现，在这种情况下，由于转动矩阵的幺正性，在拉格朗日密度里出现的可以是任意一种基下的本征态的自耦合。

$$ \mathcal L_{q0} = i \sum_{q = u,d,c,s,t,b} \bar q \gamma^\mu \partial_\mu q $$

$$ \begin{aligned} \mathcal L_{qIZ} = & \frac{g}{\cos \theta_w} Z_\mu \sum_i \Big[ \bar u_{iL}\gamma^\mu (\frac 1 2 - \frac 2 3 \sin^2 \theta_w)u_{iL} + \bar d_{iL}\gamma^\mu (\frac 1 2 + \frac 1 3 \sin^2 \theta_w) d_{iL}\\ &~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~+~~ \bar u_{iR}\gamma^\mu (- \frac 2 3 \sin^2 \theta_w) u_{iR} ~~+~~~~ \bar d_{iR}\gamma^\mu (\frac 1 3 \sin^2 \theta_w) d_{iR} ~~~~\Big] \\ = & \frac{g}{\cos \theta_w} Z_\mu \sum_{u \to c,t;d \to s,b} \Big( -\frac 2 3 \sin^2 \theta_w \bar u \gamma^\mu u + \frac 1 2 \bar u_L \gamma^\mu u_L\\ & ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~+ \frac 1 3 \sin^2 \theta_w \bar d \gamma^\mu d - \frac 1 2 \bar d_L \gamma^\mu d_L \Big) \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} \mathcal L_{qem} & = e A_\mu \sum_i (\bar L_i \gamma^\mu Q L_i + \bar R_{ui} \gamma^\mu Q R_{ui} + \bar R_{di} \gamma^\mu Q R_{di})\\ & = e A_\mu \sum_i (\frac 2 3 \bar u_i \gamma^\mu u_i - \frac 1 3 \bar d_i \gamma^\mu d_i)\\ & = e A_\mu \sum_{u \to c,t;d \to s,b} (\frac 2 3 \bar u \gamma^\mu u - \frac 1 3 \bar d \gamma^\mu d) \end{aligned} $$

对于发生u类和d类夸克耦合的$\mathcal L_{qIW}$

$$ \begin{aligned} \mathcal L_{qIW} & = \frac{g}{\sqrt 2} \sum_i (\bar L_i \gamma^\mu W^+ T^+ L_i + \bar L_i \gamma^\mu W^- T^- L_i)\\ & = \frac{g}{\sqrt 2} \sum_i (\bar u_{iL} \gamma^\mu W^+_\mu d_{iL} + \bar d_{iL} \gamma^\mu W^-_\mu u_{iL})\\ \end{aligned} $$

其中

$$ \begin{aligned} \sum_i \bar u_{iL} \gamma^\mu d_{iL} & = \sum_i \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix}_L^\dagger \gamma^0 \gamma^\mu \begin{pmatrix} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{pmatrix}_L \\ & = \sum_i \begin{pmatrix} u \\ c \\ t \end{pmatrix}_L^\dagger U^\dagger_L \gamma^0 \gamma^\mu D_L \begin{pmatrix} d \\ s \\ b \end{pmatrix}_L \\ & = \sum_{u\to c,t;~d\to s,b} \bar u_L \gamma^\mu V_{ud} d_L \end{aligned} $$

其中$V_{ud} = U_L^\dagger D_L$便是Cabibbo-Kobayashi-Maskawa混合矩阵，简称CKM矩阵。由于$U,D$都是幺正矩阵，于是CKM矩阵$V_{ud}$也应该是幺正的。需要注意的是，转动矩阵$U$和$D$并没有独立的可观测的物理效应，只有CKM矩阵才有实验上可观测的物理效应。CKM矩阵的实验测定值为（pdg2023）

$$ \left|V_{\text {CKM }}\right|=\left(\begin{array}{ccc} 0.97435 \pm 0.00016 & 0.22500 \pm 0.00067 & 0.00369 \pm 0.00011 \\ 0.22486 \pm 0.00067 & 0.97349 \pm 0.00016 & 0.04182_{-0.00074}^{+0.00085} \\ 0.00857_{-0.00018}^{+0.00020} & 0.04110_{-0.00072}^{+0.00083} & 0.999118_{-0.000036}^{+0.000031} \end{array}\right) $$

综上所述，可以把电弱统一理论的拉格朗日密度简写为

$$ \begin{aligned} \mathcal L_{GWS} = & - \frac{1}{4} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu}\\ & + i \bar \psi D \llap / \psi\\ & + \psi_i y_{ij} \psi_j \phi + \text{h.c.}\\ & + \abs{D_\mu \phi}^2 - V(\phi)\\ \end{aligned} $$

第一行代表自由规范场，第二行代表轻子场和夸克场，第三行代表轻子和夸克与Higgs场的汤川耦合，第四行代表自由Higgs场。而协变微分为