前面的Part1的内容是自由标量场，麦克斯韦场以及旋量场的量子化。具体流程是建立相应的拉格朗日密度模型，再加上相应的对易关系将场量子化，结合Noether定理可以得到体系的一系列量子化的守恒量。
而从这里开始要使用路径积分。量子力学中，可以使用薛定谔方程来描述波函数的动力学，也可以使用路径积分来刻画。而量子场论作为量子力学的延伸，也可以使用路径积分进行表述，而后面人们会发现，量子场论中的路径积分表述适用于更复杂的情况，并具有更深刻的内涵。
路径积分
数学准备
“我们现在正适合看这样的书”很贴心的，王正行的书里有介绍一下Gauss积分以及泛函积分的事。恰巧我都不太会，所以还是做下笔记。
Gauss积分
对于一个物理系的本科生（我），应当至少见过两次Gauss积分，一次是在数分里教积分的时候，另一次是在概统里有用到。但是有人在被拷打的时候还是没什么印象现在还是再来重温一下吧。
基本Gauss积分：
$$ \int^{+\infty}_{-\infty}dx~ e^{-\frac 1 2 x^2} = \sqrt{2\pi} $$
过程是这样的：
$$ \begin{aligned} (\int^{+\infty}_{-\infty}dx~ e^{-\frac 1 2 x^2})^2 &= \iint^{+\infty}_{-\infty}dx dy~ e^{-\frac 1 2 x^2+y^2}\\ & = \int_0^{\infty}dr~ 2\pi r e^{-\frac 1 2 r^2} = 2\pi \end{aligned} $$
一般地，有
$$ \int^{+\infty}_{-\infty}dx~ e^{-\frac 1 2 ax^2} = \sqrt{\frac{2\pi}{a}} $$
上式中对a求n阶导，能得到
$$ \int^{+\infty}_{-\infty}dx~ x^{2n}e^{-\frac 1 2 a x^2} = \sqrt{\frac{2\pi}{a}}\frac{1}{a^n}(2n-1)!! $$
做一些简单的变量代换，我们还能得到有源Gauss积分
$$ \int^{+\infty}_{-\infty}dx~ e^{-\frac 1 2 ax^2+Jx} = \sqrt{\frac{2\pi}{a}} e^{J^2/2a} $$
上面是一元的Gauss积分，后面更常用的是多元的Gauss矩。
$$ \int d^nx e^{-\frac 1 2 x \vdot K \vdot x} = \sqrt{\frac{(2\pi)^n}{det(K)}} $$
其中的x为n元矢量，K为nxn阶对称矩阵。（证明很简单，做相似变换到对角阵即可）
同时可得有源Gauss重积分
$$ \int d^nx e^{-\frac 1 2 x \vdot K \vdot x+J \vdot x} = \sqrt{\frac{(2\pi)^n}{det(K)}} e^{\frac 1 2 J \vdot K^{-1} \vdot J} $$
上式对J求导2次，再取J=0，可得
$$ \left \langle x_i x_j \right \rangle = \frac{\int d^nx e^{-1/2 x\vdot A \vdot x +J\vdot x}x_i x_j}{\int d^nx e^{-1/2 x\vdot A \vdot x +J\vdot x}} = A_{ij}^{-1} $$
一般地，对上式对J求导p次，再取J=0，有
$$ \begin{aligned} &奇数次时~~\left \langle x_i ... x_l \right \rangle =0 \\ &偶数次时~~\left \langle x_i ... x_l \right \rangle =\sum_{wick}(A^{-1})_{ab}...(A^{-1})_{cd}~~ (abcd代表i...l的所有组合) \end{aligned} $$
这一结论被称为Wick定理。证明十分简单，此处略去。
这些东西在后面会很常见的，请务必记住。（记不住也没事反正一定会遇到然后回过头来看的）
泛函积分
实变函数学十遍，泛函分析心犯寒
首先什么是泛函？泛函就是函数空间到数域的映射。比如定积分就是一个泛函，能把一个函数映射为一个实数。也不仅是定积分，只要能映射到一个数上就行，比如我们可以把连续函数映射到其在o点处的泰勒展开的领头阶的次数，这也是一个泛函。但是在量子场论里（最起码在这里），我们提到泛函的意图，就是积分。
我们把泛函记作$F[\xi]$，其中$\xi(x)$是关于x的函数。
现在我们知道什么是泛函了，那么我们怎么对泛函积分呢？考虑最简单的重积分（比如Gauss积分的求解过程），这我们都知道怎么求，而这本身就是对泛函进行积分。那么更复杂的情况呢？
泛函积分是这样定义的：把函数$\xi(x)$的定义域$[x]$划分成许多个小元胞$\Delta x$，于是函数$\xi(x)$变为数集$\xi_x$，于是泛函$F[\xi]$变为多元函数$F(\xi_x)$。于是对泛函$F[x]$的积分就为（这里的C是一些与元胞有关的系数，但是在物理问题里通常不重要）
$$ \int \mathcal Dx F[\xi] = \lim_{\Delta x \to 0} \int (\prod_x \frac{d\xi_x}{C})F(\xi_x) $$
于是我们把泛函积分变成了无限维的重积分，重积分是我们会算的（真的吗？），这就方便了。
我们可以相信，泛函积分与我们之前的积分没什么不同，就是数变成了函数，同时一定程度上还具有系数的任意性。毕竟是我们学物理的而不是学数学的，遇到错误了自然会有数学大手子出来纠正的（？）
于是，我们可以看出，泛函积分具有平移不变性，即
$$ \int \mathcal D\xi F[\xi] = \int \mathcal D\xi F[\xi+\eta] $$
与Gauss积分类似，有（这里略去了一些系数）
$$ \begin{aligned} \int \mathcal D\xi e^{-\frac 1 2\xi K \xi +J\xi}&=\int \mathcal D \xi e^{\int dxdy~(-\frac 1 2\xi(x)K(x,y)\xi(y)+J(x)\xi(y))}\\ & = e^{\frac 1 2 \int dxdy J(x)K^{-1}(x,y)J(y)} = e^{\frac 1 2 J K^{-1} J} \end{aligned} $$
下面我们来看一个泛函积分式
$$ \begin{aligned} \int \mathcal D \xi F(\xi) e^{-\frac 1 2 \int dx \int dy( \xi A \xi +J \xi)} & = \sum_n f_n \int \mathcal D \xi ~\xi^n e^{...} \\ & = \sum_n f_n \int \mathcal D \xi ~(\frac{\delta}{\delta J})^n e^{...} \\ & = F[\frac{\delta}{\delta J}]e^{\frac 1 2 \int dx \int dy J A^{-1} J} \end{aligned} $$
于是，我们就能得到
$$ \int \mathcal D \xi e^{-\frac 1 2 \xi A \xi -V(\xi)+J\xi} = e^{-V(\delta / \delta J)}e^{\frac 1 2 J A^{-1} J} $$
这一等式在王正行的书中被称为量子场论的中心等式。在后面我们会用上这式子的。
泛函微分
提到积分就不得不谈微分。
其定义是这样的：考虑函数$\xi(x)$在y点处的改变$\epsilon$，于是泛函对其微分为
$$ \frac{\delta F[\xi(x)] }{\delta \xi(x)} = \lim_{\epsilon \to 0}\frac{F[\xi(x)+\epsilon \delta(x-y)]-F[\xi(x)]}{\epsilon} $$
于是有
$$ \frac{\delta}{\delta \xi(y)} \xi(x) = delta(x-y) $$
$$ \frac{\delta}{\delta \xi(y)} \int dx \xi(x) = 1 $$
量子力学路径积分
其实，主播也没上过学.jpg很遗憾，本人还真没学过高量，课上学到的量力也很简单，什么量子力学的路径积分表述自然也是没学过的，所以这块还真得认真写写。
Feynman公式
在量子力学中，系统波函数的演化遵循薛定谔方程。于是系统的时间演化算符
$$ U(t,t_0) = e^{-iH(t-t_0)} $$
那么系统在坐标表象下的波函数写为
$$ \begin{aligned} \psi(q,t) = \bra{q}\ket{\psi(t)} = \bra{q}U(t-t_0)\ket{\psi(t_0)} & = \sum_{q_0}\bra{q}U(t-t_0)\ket{q_0}\bra{q_0}\ket{\psi(t_0)}\\ & = \int d{q_0} K(q,t;q_0,t_0) \psi(q_0,t_0) \end{aligned} $$
这里面的$K(q,t;q_0,t_0)$被称为跃迁振幅，正如其物理意义一样。 根据上式，我们就能得到跃迁振幅
$$ K(q,t;q_0,t_0) = \bra{q,t}U(t-t_0)\ket{q_0,t_0} $$
现在我们来看看跃迁振幅$K(q,t;q_0,t_0)$怎么计算。
在量子力学中，如果我们假设势场与动量和时间无关，只是位置的函数（一般来说也是这样），那么哈密顿量写为$H=\frac{p^2}{2m}+V(x)$。这样则有哈密顿量与动量对易$[H,p]=0$。
我们把时间演化算符拆开$U(t-t_0)=e^{-iH(t-t_0)}=e^{-iH(N\Delta t)}$
于是跃迁振幅可写为
$$ K =\int dq_n ... \int dq_1 \bra{q}e^{-iH\Delta t}\ket{q_n}\bra{q_n} e^{-iH\Delta t}\ket{q_{n-1}} ... \bra{q_1} e^{-iH\Delta t}\ket{q_0} $$
其中一个矩阵元为
$$ \begin{aligned} \bra{q_i} e^{-iH\Delta t}\ket{q_{i-1}} & = \int \frac{dp}{(2\pi)^{1/2}}\bra{q_i} e^{-iH\Delta t} \ket{p} \bra{p} \ket{q_{i-1}}\\ & = \int \frac{dp}{2\pi}\bra{q_i} e^{-iH\Delta t}\ket{p}e^{-iq_{i-1}p}\\ & = \int \frac{dp}{2\pi} e^{-iH\Delta t} e^{-i(q_{i-1}-q_i)p}\\ & = \int \frac{dp}{2\pi} e^{-i\Delta t \frac{p^2}{2m}-i\Delta t V - i(q_{i-1}-q_i)p}\\ & = \frac{1}{2\pi} e^{-i\Delta t V} (\frac{2\pi m}{i\Delta t})^{1/2} e^{m(q_i-q_{i-1})^2/2i\Delta t}\\ & = (-\frac{im}{2\pi\Delta t})^{1/2} e^{-i V \Delta t } e^{-i(m/2)((q_i-q_{i-1})^2/\Delta t)} \end{aligned} $$
第二个等式利用了$[H,p]=0$，第5个等式由Gauss积分得到。
于是
$$ \begin{aligned} K & = \bra{q} e^{-iH(t-t_0)}\ket{q_0} = (-\frac{im}{2\pi \Delta t})^{N/2}(\prod^{N-1}_{k=1}\int dq_k)e^{i\frac{m}{2}\sum_i \frac{(q_i-q_{i-1})^2}{\Delta t}}\\ & = C \int \mathcal D q e^{i\int_{t_0}^t dt (\frac 1 2 m \dot q - V)} \end{aligned} $$
其中C为归一化系数。
我们可以发现，在跃迁振幅的表达式中，指数上面就是体系的拉格朗日量对时间的积分，而我们知道这一积分就是体系的作用量。
一般地，可以将跃迁振幅写为
$$ \begin{aligned} K(q,t;q_0,t_0) &= C \int \mathcal Dq e^{i\int d^3x \int dt~\mathcal L(x,t)}\\ & = C \int \mathcal Dq e^{i\int dt~ L(t)}\\ & = C \int \mathcal Dq e^{iS} \end{aligned} $$
其中S为体系的作用量。
这就是所谓的Feynman公式。这一公式的物理含义是，t0时处在q0状态的系统，当t时跃迁到q状态的概率幅，对于这两个端点间的所有路径都是等权重的，总的概率幅是沿着所有路径按相位S叠加的结果，S是体系的作用量。这也被称为量子作用量原理。
源与扰动
考虑一散射问题，来自源S的粒子在时间$t \to - \infty$以入射态$\ket{in}$进入，发生一系列相互作用后在$t\to + \infty$以出射态$\ket{out}$被探测器接受，于是我们关心的便是入射态到出射态的跃迁振幅$\bra{in}\ket{out}$。
理论上，我们可以使用外源J来代替粒子的源和汇，在势场中增添一系列源项$\int dx J(x)q(x)$（比如粒子点源就为$\delta$函数），于是问题就变为在有外源J下基态到基态的跃迁振幅$\bra{0,-\infty}\ket{0,+\infty}_J$。这一概念源自Schwinger。
这一跃迁振幅为外源J的泛函，于是也被称为生成泛函，记为$Z[J] = \bra{0,-\infty}\ket{0,+\infty}_J$
对于量子力学中，可能这一做法还不是很有必要，因为那时还不是泛函积分而是普通的定积分。但是在之后的使用路径积分处理量子场论的时候，出现的是泛函积分，我们无法对泛函积分的上下限作出一个良好的定义，那么这时外源这套做法就必不可少了。
标量场的路径积分
从量子力学的路径积分过渡到量子场论，和我们前面的做法一样，把粒子的广义坐标$q$换成场量$\phi(x)$，把拉格朗日量对时间的积分变为拉格朗日密度对时空的积分，几乎就差不多了。
对于自由标量场，拉格朗日密度为$\mathcal L = \frac 1 2(\partial^\mu\phi\partial_\mu\phi - m^2\phi^2)$，为了后续计算方便，由于拉格朗日密度可以随意增添四散度项，于是我们把拉格朗日密度改写为$\mathcal L = - \frac 1 2 \phi(\partial^2 + m^2)\phi$
我们考虑在外源J下的情况，于是真空态到真空态的跃迁振幅为
$$ Z[J] = \int \mathcal D \phi~ e^{i \int d^4x[-1/2~ \phi (\partial^2+m^2)\phi + J(x)\phi(x)]} $$
假如我们令
$$ -(\partial^2+m^2)\Delta_F(x-y)=\delta(x-y) $$
那么就可以得到
$$ Z[J] = Z[0] e^{-i/2 \int d^4x \int d^4y J(x)\Delta_F(x-y)J(y)} $$
取归一化系数为Z[0]，这样当无外源的时候便能自然退化了。
Green 函数
我们把跃迁振幅Z[J]展开为J(x)的级数
$$ Z = C \sum_{n=0}^\infty \frac{i^n}{n!} \int dx_1 ... dx_n G(x_1,...,x_n)J(x_1)...J(x_n) $$
我们把$G(x_1,...x_n)$称为n点Green函数。
于是，根据展开式，能得到Green函数的表达式
$$ G(x_1,...x_n) = \eval{\frac{\delta^n Z[J]}{i^n \delta J(x_1)...\delta J(x_n)}}_{J=0} $$
于是我们可以据此得到自由标量场下的Green函数
1点Green函数：
$$ \begin{aligned} G(x) & = \eval{\frac{\delta Z}{i \delta J(x_1)}}_{J=0} = \eval{\frac{\delta}{i \delta J(x_1)} e^{-i/2 \int d^4x \int d^4y J(x)\Delta_F(x-y)J(y)}}_{J=0}\\ & = \eval{\int dy \Delta_F(x-y)J(y) e^{...}}_{J=0} = 0 \end{aligned} $$
2点Green函数：
$$ \begin{aligned} G(x_1,x_2) & = \eval{\frac{\delta Z}{i^2 \delta J(x_1) \delta J(x_2)}}_{J=0} = -\eval{\frac{\delta}{ \delta J(x_1) \delta J(x_2)} e^{-i/2 \int d^4x \int d^4y J(x)\Delta_F(x-y)J(y)}}_{J=0}\\ & = \eval{\left [i \Delta_F(x_1-x_2) + (\int dx \Delta_F(x-x_1)J(x))(\int dx \Delta_F(x-x_2)J(x))\right ]e^{...}}_{J=0} = i \Delta_F(x_1-x_2) \end{aligned} $$
通过这一方法，我们能得到n=3,4...的Green函数，3点Green函数$G(x_1,x_2,x_3)=0$，4点Green函数$G(x_1,x_2,x_3,x_4)=G(x_1,x_2)G(x_3,x_4)+G(x_1,x_3)G(x_2,x_4)+G(x_1,x_4)G(x_2,x_3)$
不难证明，奇数点的Green函数为0，偶数点的Green函数为各点所有可能的无向连接的2点Green函数乘积之和。
这一结论也可由前面介绍Gauss积分时的Wick定理得到。将$Z[J] = \int \mathcal D \phi~ e^{i \int d^4x[-1/2~ \phi (\partial^2+m^2)\phi + J(x)\phi(x)]}$带入Green函数定义式中，于是有
$$ \begin{aligned} G_n(x_1,...,x_n) & = \eval{\frac{\delta^n}{i^n \delta J(x_1)...\delta J(x_n)} \int \mathcal D \phi~ e^{i \int dx[-1/2~ \phi (\partial^2+m^2)\phi + J(x)\phi(x)]}}_{J=0}\\ & = \int \mathcal D\phi e^{-i/2 \int dx~ \phi (\partial^2+m^2)\phi }x_1 x_2 ... x_n \\ & =\left \langle x_1 x_2 ... x_n \right \rangle = \begin{cases} 0 ~~ n为奇数\\ \sum_{wick}(G(a,b)...G(c,d))~~ n为偶数 \end{cases} \end{aligned} $$
也有书将这一结果称为Wick定理的。
假如我们直接将$Z[J] = \int \mathcal D \phi~ e^{i \int d^4x[\mathcal L + J(x)\phi(x)]}$直接对J(x)展开，则有
$$ G(x_1,...x_n) = \int \mathcal D \phi e^{i \int d^4x \mathcal L}\phi(x_1)\phi(x_2)...\phi(x_n) $$
而通过路径积分可以证明
$$ \bra{q,t}T[q(t_1)q(t_2)...q(t_n)]\ket{q_0,t_0} = \int \mathcal D q~ q(x_1)q(x_2)...q(x_n) e^{i \int d^4x \mathcal L} $$
需要注意的是，上式左侧的q为算符，交换不对称；而右侧出现在路径积分的q为函数，交换对称。由于路径积分的要求，需要保证左侧的算符按时间顺序排列（否则也不具备物理意义），于是引入时序算符$T$。
于是，Green函数也可定义为
$$ G(x_1,...x_n) = \bra{0} T[\phi(x_1)\phi(x_2)...\phi(x_n)]\ket{0} $$
使用这种定义，则Green函数的计算无需借助路径积分，而通过场的正则量子化的结论便可得到。而不难验证，这两种定义导出的结论也是自洽的。
旋量场的路径积分
对于自由旋量场，拉格朗日密度为$\mathcal L = \bar \psi (i\gamma^\mu \partial_\mu -m)\psi$。和前面一样，我们往拉格朗日密度里面加外场，由于场量$\psi$和$\bar \psi$是两个线性独立的旋量，那么加的外场也应该是两个线性独立的旋量，令为$\eta$和$\bar \eta$。那么加外场的拉格朗日密度可以写为
$$ \mathcal L = \bar \psi (i\gamma^\mu \partial_\mu -m)\psi +\bar \eta \psi + \bar \psi \eta $$
我们令$S_F ^{-1} = i\gamma^\mu\partial_\mu -m$，于是拉格朗日密度可以写为
$$ \mathcal L = (\bar \psi + \bar \eta S_F)S_F^{-1} (\psi +S_F \eta) - \bar \eta S_F \eta $$
于是跃迁振幅为
$$ \begin{aligned} Z[\bar \eta,\eta] & = \frac 1 {Z[0,0]}\int \mathcal D \bar \psi \mathcal D \psi e^{i\int dx~(\bar \psi + \bar \eta S_F)S_F^{-1} (\psi +S_F \eta) - \bar \eta S_F \eta}\\ & = e^{-i \int dx \int dy ~\bar \eta S_F \eta} \end{aligned} $$
由于$S_F ^{-1} = i\gamma^\mu\partial_\mu -m$，于是
$$ (i\gamma^\mu\partial_\mu -m) S_F(x-y) = \delta(x-y) $$
这和我们在标量场里见到的几乎一样。于是我们在这里不加思考地写出Dirac场的两点Green函数
$$ G(x,y) =i S_F(x-y) $$
传播子
由于有人在前面Part1的时候偷懒，正则量子化的时候没提传播子这事，于是现在需要还债了。
标量场
旋量场
相互作用与Feynman图
$\phi^4$模型
现在，我们往自由场里面加入相互作用。把场的拉格朗日密度写为$\mathcal L = \mathcal L_0 +\mathcal L_I$，$\mathcal L_0$为自由场的拉格朗日密度，$\mathcal L_I$刻画相互作用。
如果$\mathcal L_I$中不含$\partial \phi$，那么则不影响体系的正则动量，也就不影响正则量子化的对易关系。我们如果把哈密顿密度写为$\mathcal H = \mathcal H_0 + \mathcal H_I$，那么$\mathcal H_I = -\mathcal L_I$。
让我们先来看标量场。相对论要求相互作用是定域的，这就意味着$\mathcal L_I$里不能出现类似$\phi(x)\phi(y)$这样的项，又不考虑场量的微分的话，这样相互作用项一种可能的形式就是$\phi^n$。由于奇数次项会导致能量不正定，所以最简单的模型就是
$$ \mathcal L_I = - \frac{\lambda}{4!} \phi^4 $$
那么跃迁振幅为
$$ \begin{aligned} Z[J] & =\int \mathcal D \phi~ e^{i\int dx (\mathcal L_0 + \mathcal L_I + J\phi)}\\ & = \int \mathcal D \phi~ e^{i \int dx[-1/2~ \phi (\partial^2+m^2)\phi +\mathcal L_I(\phi) + J(x)\phi(x)]}\\ & = \int \mathcal D \phi~ e^{i\int dx~ \mathcal L_I(\phi)} e^{i \int d^4x[-1/2~ \phi (\partial^2+m^2)\phi + J(x)\phi(x)]}\\ & = e^{i\int dx \mathcal L_I(\delta/i\delta J)} e^{-i/2~J\Delta_F J}\\ & = e^{i\int dx (-\frac{\lambda}{4!}(\delta/i\delta J)^4)} Z_0[J] \end{aligned} $$
这里的$Z_0[J]$为无相互作用时的跃迁振幅。第4个等式使用了"量子场论的中心等式"。
假如耦合系数$\lambda$是一个小量，那么我们可以把$\mathcal L_I$看作是微扰，对$e^{i\int dx \mathcal L_I}$进行泰勒展开
$$ e^{i\int dx \mathcal L_I} = e^{i\int dx (-\frac{\lambda}{4!}(\delta/\delta J)^4)} = 1-i\frac{\lambda}{4!} \int dx [\frac{\delta}{i\delta J(x)}]^4 + \dots $$
那么，$Z_0[J]$中$\lambda$的0阶项即为自由场的生成泛函，$\lambda$的1阶项给出的是相互作用场的1阶微扰。下面我们就来计算一下1阶项（先不管那些系数了）
$$ \begin{aligned}[] \left[\frac{\delta}{i\delta J(x)}\right ]^4 Z_0[J] & = \left[\frac{\delta}{i\delta J(x)}\right ]^4 e^{-i/2 \int dy \int dz J(y) \Delta_F(y-z) J(z)}\\ & = \left[\frac{\delta}{i\delta J(x)}\right ]^3 (-\int dz \Delta_F(x-z)J(z))e^{\dots} \\ & = \left[\frac{\delta}{i\delta J(x)}\right ]^2 \left[i\Delta_F(x-x) + (-\int dz \Delta_F(x-z)J(z))^2\right ]e^{\dots} \\ & = \left[\frac{\delta}{i\delta J(x)}\right ] \left[(2+1)i (-\int dz \Delta_F(x-z)J(z))\Delta_F(x-x) + (-\int dz \Delta_F(x-z)J(z))^3 \right ]e^{\dots} \\ & = \left[-3 \Delta_F^2(x-x) +6i (\int dz \Delta_F(x-z)J(z))^2 \Delta_F(x-x) +(\int dz \Delta_F(x-z)J(z))^4\right ]Z_0[J] \end{aligned} $$
于是
$$ Z[J] = \left\{ 1 - i\frac{\lambda}{4!} \int dz\left[-3 \Delta_{Fzz}^2 +6i \Delta_{Fzz} (\Delta_{Fzy}J(y))^2 + (\Delta_{Fzy}J(y))^4 \right ] + \dots \right \}Z_0[J] $$
其中$\Delta_{Fzz} = \Delta_F(z-z),~~\Delta{Fzy}J(y) = \int dy \Delta_F(z-y)J(y)$