前面的Part1的内容是自由标量场，麦克斯韦场以及旋量场的量子化。具体流程是建立相应的拉格朗日密度模型，再加上相应的对易关系将场量子化，结合Noether定理可以得到体系的一系列量子化的守恒量。

而从这里开始要使用路径积分。量子力学中，可以使用薛定谔方程来描述波函数的动力学，也可以使用路径积分来刻画。而量子场论作为量子力学的延伸，也可以使用路径积分进行表述，而后面人们会发现，量子场论中的路径积分表述适用于更复杂的情况，并具有更深刻的内涵。

路径积分

数学准备

“我们现在正适合看这样的书”很贴心的，王正行的书里有介绍一下Gauss积分以及泛函积分的事。恰巧我都不太会，所以还是做下笔记。

Gauss积分

对于一个物理系的本科生（我），应当至少见过两次Gauss积分，一次是在数分里教积分的时候，另一次是在概统里有用到。但是有人在被拷打的时候还是没什么印象现在还是再来重温一下吧。

基本Gauss积分：

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}dx{e}^{-\frac{1}{2}{x}^2}=\sqrt{2\pi }$$

过程是这样的：

$$\begin{array}{rl}({\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}dx{e}^{-\frac{1}{2}{x}^2}{)}^2& ={\iint }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}dxdy{e}^{-\frac{1}{2}{x}^2+y^2}\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}dr2\pi r{e}^{-\frac{1}{2}{r}^2}=2\pi \end{array}$$

一般地，有

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}dx{e}^{-\frac{1}{2}a{x}^2}=\sqrt{\frac{2\pi }{a}}$$

上式中对a求n阶导，能得到

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}dx{x}^{2n}{e}^{-\frac{1}{2}a{x}^2}=\sqrt{\frac{2\pi }{a}}\frac{1}{a^n}(2n-1)!!$$

做一些简单的变量代换，我们还能得到有源Gauss积分

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}dx{e}^{-\frac{1}{2}a{x}^2+Jx}=\sqrt{\frac{2\pi }{a}}{e}^{J^2/2a}$$

上面是一元的Gauss积分，后面更常用的是多元的Gauss矩。

$$\int d^{n}x{e}^{-\frac{1}{2}x\mathbf{\cdot }K\mathbf{\cdot }x}=\sqrt{\frac{(2\pi {)}^n}{det(K)}}$$

其中的x为n元矢量，K为nxn阶对称矩阵。（证明很简单，做相似变换到对角阵即可）

同时可得有源Gauss重积分

$$\int d^{n}x{e}^{-\frac{1}{2}x\mathbf{\cdot }K\mathbf{\cdot }x+J\mathbf{\cdot }x}=\sqrt{\frac{(2\pi {)}^n}{det(K)}}{e}^{\frac{1}{2}J\mathbf{\cdot }{K}^{-1}\mathbf{\cdot }J}$$

上式对J求导2次，再取J=0，可得

$$⟨x_i{x}_j⟩=\frac{\int d^{n}x{e}^{-1/2x\mathbf{\cdot }A\mathbf{\cdot }x+J\mathbf{\cdot }x}{x}_i{x}_j}{\int d^{n}x{e}^{-1/2x\mathbf{\cdot }A\mathbf{\cdot }x+J\mathbf{\cdot }x}}=A_{ij}^{-1}$$

一般地，对上式对J求导p次，再取J=0，有

$$\begin{array}{rl}& 奇数次时⟨x_i...x_l⟩=0\\ & 偶数次时⟨x_i...x_l⟩=\sum _{wick}(A^{-1}{)}_{ab}...(A^{-1}{)}_{cd}(abcd代表i...l的所有组合)\end{array}$$

这一结论被称为Wick定理。证明十分简单，此处略去。

这些东西在后面会很常见的，请务必记住。（记不住也没事反正一定会遇到然后回过头来看的）

泛函积分

实变函数学十遍，泛函分析心犯寒

首先什么是泛函？泛函就是函数空间到数域的映射。比如定积分就是一个泛函，能把一个函数映射为一个实数。也不仅是定积分，只要能映射到一个数上就行，比如我们可以把连续函数映射到其在o点处的泰勒展开的领头阶的次数，这也是一个泛函。但是在量子场论里（最起码在这里），我们提到泛函的意图，就是积分。

我们把泛函记作$F[\xi ]$，其中$\xi (x)$是关于x的函数。

现在我们知道什么是泛函了，那么我们怎么对泛函积分呢？考虑最简单的重积分（比如Gauss积分的求解过程），这我们都知道怎么求，而这本身就是对泛函进行积分。那么更复杂的情况呢？

泛函积分是这样定义的：把函数$\xi (x)$的定义域$[x]$划分成许多个小元胞$\mathrm{\Delta }x$，于是函数$\xi (x)$变为数集${\xi }_x$，于是泛函$F[\xi ]$变为多元函数$F({\xi }_x)$。于是对泛函$F[x]$的积分就为（这里的C是一些与元胞有关的系数，但是在物理问题里通常不重要）

$$\int \mathcal{D}xF[\xi ]=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\int (\prod _x\frac{d{\xi }_x}{C})F({\xi }_x)$$

于是我们把泛函积分变成了无限维的重积分，重积分是我们会算的（真的吗？），这就方便了。

我们可以相信，泛函积分与我们之前的积分没什么不同，就是数变成了函数，同时一定程度上还具有系数的任意性。毕竟是我们学物理的而不是学数学的，遇到错误了自然会有数学大手子出来纠正的（？）

于是，我们可以看出，泛函积分具有平移不变性，即

$$\int \mathcal{D}\xi F[\xi ]=\int \mathcal{D}\xi F[\xi +\eta ]$$

与Gauss积分类似，有（这里略去了一些系数）

$$\begin{array}{rl}\int \mathcal{D}\xi e^{-\frac{1}{2}\xi K\xi +J\xi }& =\int \mathcal{D}\xi e^{\int dxdy(-\frac{1}{2}\xi (x)K(x,y)\xi (y)+J(x)\xi (y))}\\ & =e^{\frac{1}{2}\int dxdyJ(x)K^{-1}(x,y)J(y)}=e^{\frac{1}{2}J{K}^{-1}J}\end{array}$$

下面我们来看一个泛函积分式

$$\begin{array}{rl}\int \mathcal{D}\xi F(\xi )e^{-\frac{1}{2}\int dx\int dy(\xi A\xi +J\xi )}& =\sum _n{f}_n\int \mathcal{D}\xi {\xi }^n{e}^{...}\\ & =\sum _n{f}_n\int \mathcal{D}\xi (\frac{\delta }{\delta J}{)}^n{e}^{...}\\ & =F[\frac{\delta }{\delta J}]e^{\frac{1}{2}\int dx\int dyJ{A}^{-1}J}\end{array}$$

于是，我们就能得到

$$\int \mathcal{D}\xi e^{-\frac{1}{2}\xi A\xi -V(\xi )+J\xi }=e^{-V(\delta /\delta J)}{e}^{\frac{1}{2}J{A}^{-1}J}$$

这一等式在王正行的书中被称为量子场论的中心等式。在后面我们会用上这式子的。

泛函微分

提到积分就不得不谈微分。

其定义是这样的：考虑函数$\xi (x)$在y点处的改变$ϵ$，于是泛函对其微分为

$$\frac{\delta F[\xi (x)]}{\delta \xi (x)}=\underset{ϵ\to 0}{lim}\frac{F[\xi (x)+ϵ\delta (x-y)]-F[\xi (x)]}{ϵ}$$

于是有

$$\frac{\delta }{\delta \xi (y)}\xi (x)=delta(x-y)$$

$$\frac{\delta }{\delta \xi (y)}\int dx\xi (x)=1$$

量子力学路径积分

其实，主播也没上过学.jpg很遗憾，本人还真没学过高量，课上学到的量力也很简单，什么量子力学的路径积分表述自然也是没学过的，所以这块还真得认真写写。

Feynman公式

在量子力学中，系统波函数的演化遵循薛定谔方程。于是系统的时间演化算符

$$U(t,t_0)=e^{-iH(t-t_0)}$$

那么系统在坐标表象下的波函数写为

$$\begin{array}{rl}\psi (q,t)=⟨q|\psi (t)⟩=⟨q|U(t-t_0)|\psi (t_0)⟩& =\sum _{q_0}⟨q|U(t-t_0)|q_0⟩⟨q_0|\psi (t_0)⟩\\ & =\int d{q}_{0}K(q,t;q_0,t_0)\psi (q_0,t_0)\end{array}$$

这里面的$K(q,t;q_0,t_0)$被称为跃迁振幅，正如其物理意义一样。 根据上式，我们就能得到跃迁振幅

$$K(q,t;q_0,t_0)=⟨q,t|U(t-t_0)|q_0,t_0⟩$$

现在我们来看看跃迁振幅$K(q,t;q_0,t_0)$怎么计算。

在量子力学中，如果我们假设势场与动量和时间无关，只是位置的函数（一般来说也是这样），那么哈密顿量写为$H=\frac{p^2}{2m}+V(x)$。这样则有哈密顿量与动量对易$[H,p]=0$。
我们把时间演化算符拆开$U(t-t_0)=e^{-iH(t-t_0)}=e^{-iH(N\mathrm{\Delta }t)}$
于是跃迁振幅可写为

$$K=\int d{q}_n...\int d{q}_1⟨q|e^{-iH\mathrm{\Delta }t}|q_n⟩⟨q_n|e^{-iH\mathrm{\Delta }t}|q_{n-1}⟩...⟨q_1|e^{-iH\mathrm{\Delta }t}|q_0⟩$$

其中一个矩阵元为

$$\begin{array}{rl}⟨q_i|e^{-iH\mathrm{\Delta }t}|q_{i-1}⟩& =\int \frac{dp}{(2\pi {)}^{1/2}}⟨q_i|e^{-iH\mathrm{\Delta }t}|p⟩⟨p|q_{i-1}⟩\\ & =\int \frac{dp}{2\pi }⟨q_i|e^{-iH\mathrm{\Delta }t}|p⟩e^{-i{q}_{i-1}p}\\ & =\int \frac{dp}{2\pi }{e}^{-iH\mathrm{\Delta }t}{e}^{-i(q_{i-1}-q_i)p}\\ & =\int \frac{dp}{2\pi }{e}^{-i\mathrm{\Delta }t\frac{p^2}{2m}-i\mathrm{\Delta }tV-i(q_{i-1}-q_i)p}\\ & =\frac{1}{2\pi }{e}^{-i\mathrm{\Delta }tV}(\frac{2\pi m}{i\mathrm{\Delta }t}{)}^{1/2}{e}^{m(q_i-q_{i-1}{)}^2/2i\mathrm{\Delta }t}\\ & =(-\frac{im}{2\pi \mathrm{\Delta }t}{)}^{1/2}{e}^{-iV\mathrm{\Delta }t}{e}^{-i(m/2)((q_i-q_{i-1}{)}^2/\mathrm{\Delta }t)}\end{array}$$

第二个等式利用了$[H,p]=0$，第5个等式由Gauss积分得到。

于是

$$\begin{array}{rl}K& =⟨q|e^{-iH(t-t_0)}|q_0⟩=(-\frac{im}{2\pi \mathrm{\Delta }t}{)}^{N/2}(\prod _{k=1}^{N-1}\int d{q}_k)e^{i\frac{m}{2}\sum _i\frac{(q_i-q_{i-1}{)}^2}{\mathrm{\Delta }t}}\\ & =C\int \mathcal{D}q{e}^{i{\int }_{t_0}^{t}dt(\frac{1}{2}m\dot{q}-V)}\end{array}$$

其中C为归一化系数。

我们可以发现，在跃迁振幅的表达式中，指数上面就是体系的拉格朗日量对时间的积分，而我们知道这一积分就是体系的作用量。

一般地，可以将跃迁振幅写为

$$\begin{array}{rl}K(q,t;q_0,t_0)& =C\int \mathcal{D}q{e}^{i\int d^{3}x\int dt\mathcal{L}(x,t)}\\ & =C\int \mathcal{D}q{e}^{i\int dtL(t)}\\ & =C\int \mathcal{D}q{e}^{iS}\end{array}$$

其中S为体系的作用量。

这就是所谓的Feynman公式。这一公式的物理含义是，t0时处在q0状态的系统，当t时跃迁到q状态的概率幅，对于这两个端点间的所有路径都是等权重的，总的概率幅是沿着所有路径按相位S叠加的结果，S是体系的作用量。这也被称为量子作用量原理。

源与扰动

考虑一散射问题，来自源S的粒子在时间$t\to -\mathrm{\infty }$以入射态$|in⟩$进入，发生一系列相互作用后在$t\to +\mathrm{\infty }$以出射态$|out⟩$被探测器接受，于是我们关心的便是入射态到出射态的跃迁振幅$⟨in|out⟩$。

理论上，我们可以使用外源J来代替粒子的源和汇，在势场中增添一系列源项$\int dxJ(x)q(x)$（比如粒子点源就为$\delta$函数），于是问题就变为在有外源J下基态到基态的跃迁振幅${⟨0,-\mathrm{\infty }|0,+\mathrm{\infty }⟩}_J$。这一概念源自Schwinger。

这一跃迁振幅为外源J的泛函，于是也被称为生成泛函，记为$Z[J]={⟨0,-\mathrm{\infty }|0,+\mathrm{\infty }⟩}_J$

对于量子力学中，可能这一做法还不是很有必要，因为那时还不是泛函积分而是普通的定积分。但是在之后的使用路径积分处理量子场论的时候，出现的是泛函积分，我们无法对泛函积分的上下限作出一个良好的定义，那么这时外源这套做法就必不可少了。

标量场的路径积分

从量子力学的路径积分过渡到量子场论，和我们前面的做法一样，把粒子的广义坐标$q$换成场量$\varphi (x)$，把拉格朗日量对时间的积分变为拉格朗日密度对时空的积分，几乎就差不多了。

对于自由标量场，拉格朗日密度为$\mathcal{L}=\frac{1}{2}({\partial }^{\mu }\varphi {\partial }_{\mu }\varphi -m^2{\varphi }^2)$，为了后续计算方便，由于拉格朗日密度可以随意增添四散度项，于是我们把拉格朗日密度改写为$\mathcal{L}=-\frac{1}{2}\varphi ({\partial }^2+m^2)\varphi$

我们考虑在外源J下的情况，于是真空态到真空态的跃迁振幅为

$$Z[J]=\int \mathcal{D}\varphi e^{i\int d^{4}x[-1/2\varphi ({\partial }^2+m^2)\varphi +J(x)\varphi (x)]}$$

假如我们令

$$-({\partial }^2+m^2){\mathrm{\Delta }}_F(x-y)=\delta (x-y)$$

那么就可以得到

$$Z[J]=Z[0]e^{-i/2\int d^{4}x\int d^{4}yJ(x){\mathrm{\Delta }}_F(x-y)J(y)}$$

取归一化系数为Z[0]，这样当无外源的时候便能自然退化了。

Green 函数

我们把跃迁振幅Z[J]展开为J(x)的级数

$$Z=C\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{i^n}{n!}\int d{x}_1...d{x}_{n}G(x_1,...,x_n)J(x_1)...J(x_n)$$

我们把$G(x_1,...x_n)$称为n点Green函数。

于是，根据展开式，能得到Green函数的表达式

$$G(x_1,...x_n)={\frac{{\delta }^{n}Z[J]}{i^n\delta J(x_1)...\delta J(x_n)}\phantom{\int }|}_{J=0}$$

于是我们可以据此得到自由标量场下的Green函数

1点Green函数：

$$\begin{array}{rl}G(x)& ={\frac{\delta Z}{i\delta J(x_1)}\phantom{\int }|}_{J=0}={\frac{\delta }{i\delta J(x_1)}{e}^{-i/2\int d^{4}x\int d^{4}yJ(x){\mathrm{\Delta }}_F(x-y)J(y)}\phantom{\int }|}_{J=0}\\ & ={\int dy{\mathrm{\Delta }}_F(x-y)J(y)e^{...}\phantom{\int }|}_{J=0}=0\end{array}$$

2点Green函数：

$$\begin{array}{rl}G(x_1,x_2)& ={\frac{\delta Z}{i^2\delta J(x_1)\delta J(x_2)}\phantom{\int }|}_{J=0}=-{\frac{\delta }{\delta J(x_1)\delta J(x_2)}{e}^{-i/2\int d^{4}x\int d^{4}yJ(x){\mathrm{\Delta }}_F(x-y)J(y)}\phantom{\int }|}_{J=0}\\ & ={[i{\mathrm{\Delta }}_F(x_1-x_2)+(\int dx{\mathrm{\Delta }}_F(x-x_1)J(x))(\int dx{\mathrm{\Delta }}_F(x-x_2)J(x))]e^{...}\phantom{\int }|}_{J=0}=i{\mathrm{\Delta }}_F(x_1-x_2)\end{array}$$

通过这一方法，我们能得到n=3,4...的Green函数，3点Green函数$G(x_1,x_2,x_3)=0$，4点Green函数$G(x_1,x_2,x_3,x_4)=G(x_1,x_2)G(x_3,x_4)+G(x_1,x_3)G(x_2,x_4)+G(x_1,x_4)G(x_2,x_3)$

不难证明，奇数点的Green函数为0，偶数点的Green函数为各点所有可能的无向连接的2点Green函数乘积之和。

这一结论也可由前面介绍Gauss积分时的Wick定理得到。将$Z[J]=\int \mathcal{D}\varphi e^{i\int d^{4}x[-1/2\varphi ({\partial }^2+m^2)\varphi +J(x)\varphi (x)]}$带入Green函数定义式中，于是有

$$\begin{array}{rl}{G}_n(x_1,...,x_n)& ={\frac{{\delta }^n}{i^n\delta J(x_1)...\delta J(x_n)}\int \mathcal{D}\varphi e^{i\int dx[-1/2\varphi ({\partial }^2+m^2)\varphi +J(x)\varphi (x)]}\phantom{\int }|}_{J=0}\\ & =\int \mathcal{D}\varphi e^{-i/2\int dx\varphi ({\partial }^2+m^2)\varphi }{x}_1{x}_2...x_n\\ & =⟨x_1{x}_2...x_n⟩=\{\begin{array}{l}0n为奇数\\ \sum _{wick}(G(a,b)...G(c,d))n为偶数\end{array}\end{array}$$

也有书将这一结果称为Wick定理的。

假如我们直接将$Z[J]=\int \mathcal{D}\varphi e^{i\int d^{4}x[\mathcal{L}+J(x)\varphi (x)]}$直接对J(x)展开，则有

$$G(x_1,...x_n)=\int \mathcal{D}\varphi e^{i\int d^{4}x\mathcal{L}}\varphi (x_1)\varphi (x_2)...\varphi (x_n)$$

而通过路径积分可以证明

$$⟨q,t|T[q(t_1)q(t_2)...q(t_n)]|q_0,t_0⟩=\int \mathcal{D}qq(x_1)q(x_2)...q(x_n)e^{i\int d^{4}x\mathcal{L}}$$

需要注意的是，上式左侧的q为算符，交换不对称；而右侧出现在路径积分的q为函数，交换对称。由于路径积分的要求，需要保证左侧的算符按时间顺序排列（否则也不具备物理意义），于是引入时序算符$T$。

于是，Green函数也可定义为

$$G(x_1,...x_n)=⟨0|T[\varphi (x_1)\varphi (x_2)...\varphi (x_n)]|0⟩$$

使用这种定义，则Green函数的计算无需借助路径积分，而通过场的正则量子化的结论便可得到。而不难验证，这两种定义导出的结论也是自洽的。

旋量场的路径积分

对于自由旋量场，拉格朗日密度为$\mathcal{L}=\overline{\psi }(i{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }-m)\psi$。和前面一样，我们往拉格朗日密度里面加外场，由于场量$\psi$和$\overline{\psi }$是两个线性独立的旋量，那么加的外场也应该是两个线性独立的旋量，令为$\eta$和$\overline{\eta }$。那么加外场的拉格朗日密度可以写为

$$\mathcal{L}=\overline{\psi }(i{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }-m)\psi +\overline{\eta }\psi +\overline{\psi }\eta$$

我们令$S_F^{-1}=i{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }-m$，于是拉格朗日密度可以写为

$$\mathcal{L}=(\overline{\psi }+\overline{\eta }{S}_F)S_F^{-1}(\psi +S_F\eta )-\overline{\eta }{S}_F\eta$$

于是跃迁振幅为

$$\begin{array}{rl}Z[\overline{\eta },\eta ]& =\frac{1}{Z[0,0]}\int \mathcal{D}\overline{\psi }\mathcal{D}\psi e^{i\int dx(\overline{\psi }+\overline{\eta }{S}_F)S_F^{-1}(\psi +S_F\eta )-\overline{\eta }{S}_F\eta }\\ & =e^{-i\int dx\int dy\overline{\eta }{S}_F\eta }\end{array}$$

由于$S_F^{-1}=i{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }-m$，于是

$$(i{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }-m)S_F(x-y)=\delta (x-y)$$

这和我们在标量场里见到的几乎一样。于是我们在这里不加思考地写出Dirac场的两点Green函数

$$G(x,y)=i{S}_F(x-y)$$

传播子

由于有人在前面Part1的时候偷懒，正则量子化的时候没提传播子这事，于是现在需要还债了。

标量场

旋量场

相互作用与Feynman图

${\varphi }^4$模型

现在，我们往自由场里面加入相互作用。把场的拉格朗日密度写为$\mathcal{L}={\mathcal{L}}_0+{\mathcal{L}}_I$，${\mathcal{L}}_0$为自由场的拉格朗日密度，${\mathcal{L}}_I$刻画相互作用。
如果${\mathcal{L}}_I$中不含$\partial \varphi$，那么则不影响体系的正则动量，也就不影响正则量子化的对易关系。我们如果把哈密顿密度写为$\mathcal{H}={\mathcal{H}}_0+{\mathcal{H}}_I$，那么${\mathcal{H}}_I=-{\mathcal{L}}_I$。

让我们先来看标量场。相对论要求相互作用是定域的，这就意味着${\mathcal{L}}_I$里不能出现类似$\varphi (x)\varphi (y)$这样的项，又不考虑场量的微分的话，这样相互作用项一种可能的形式就是${\varphi }^n$。由于奇数次项会导致能量不正定，所以最简单的模型就是

$${\mathcal{L}}_I=-\frac{\lambda }{4!}{\varphi }^4$$

那么跃迁振幅为

$$\begin{array}{rl}Z[J]& =\int \mathcal{D}\varphi e^{i\int dx({\mathcal{L}}_0+{\mathcal{L}}_I+J\varphi )}\\ & =\int \mathcal{D}\varphi e^{i\int dx[-1/2\varphi ({\partial }^2+m^2)\varphi +{\mathcal{L}}_I(\varphi )+J(x)\varphi (x)]}\\ & =\int \mathcal{D}\varphi e^{i\int dx{\mathcal{L}}_I(\varphi )}{e}^{i\int d^{4}x[-1/2\varphi ({\partial }^2+m^2)\varphi +J(x)\varphi (x)]}\\ & =e^{i\int dx{\mathcal{L}}_I(\delta /i\delta J)}{e}^{-i/2J{\mathrm{\Delta }}_{F}J}\\ & =e^{i\int dx(-\frac{\lambda }{4!}(\delta /i\delta J{)}^4)}{Z}_0[J]\end{array}$$

这里的$Z_0[J]$为无相互作用时的跃迁振幅。第4个等式使用了"量子场论的中心等式"。

假如耦合系数$\lambda$是一个小量，那么我们可以把${\mathcal{L}}_I$看作是微扰，对$e^{i\int dx{\mathcal{L}}_I}$进行泰勒展开

$$e^{i\int dx{\mathcal{L}}_I}=e^{i\int dx(-\frac{\lambda }{4!}(\delta /\delta J{)}^4)}=1-i\frac{\lambda }{4!}\int dx[\frac{\delta }{i\delta J(x)}{]}^4+\dots$$

那么，$Z_0[J]$中$\lambda$的0阶项即为自由场的生成泛函，$\lambda$的1阶项给出的是相互作用场的1阶微扰。下面我们就来计算一下1阶项（先不管那些系数了）

$$\begin{array}{rl}{\left[\frac{\delta }{i\delta J(x)}\right]}^4{Z}_0[J]& ={\left[\frac{\delta }{i\delta J(x)}\right]}^4{e}^{-i/2\int dy\int dzJ(y){\mathrm{\Delta }}_F(y-z)J(z)}\\ & ={\left[\frac{\delta }{i\delta J(x)}\right]}^3(-\int dz{\mathrm{\Delta }}_F(x-z)J(z))e^{\dots }\\ & ={\left[\frac{\delta }{i\delta J(x)}\right]}^2[i{\mathrm{\Delta }}_F(x-x)+(-\int dz{\mathrm{\Delta }}_F(x-z)J(z){)}^2]e^{\dots }\\ & =\left[\frac{\delta }{i\delta J(x)}\right][(2+1)i(-\int dz{\mathrm{\Delta }}_F(x-z)J(z)){\mathrm{\Delta }}_F(x-x)+(-\int dz{\mathrm{\Delta }}_F(x-z)J(z){)}^3]e^{\dots }\\ & =[-3{\mathrm{\Delta }}_F^2(x-x)+6i(\int dz{\mathrm{\Delta }}_F(x-z)J(z){)}^2{\mathrm{\Delta }}_F(x-x)+(\int dz{\mathrm{\Delta }}_F(x-z)J(z){)}^4]Z_0[J]\end{array}$$

于是

$$Z[J]=\{1-i\frac{\lambda }{4!}\int dz[-3{\mathrm{\Delta }}_{Fzz}^2+6i{\mathrm{\Delta }}_{Fzz}({\mathrm{\Delta }}_{Fzy}J(y){)}^2+({\mathrm{\Delta }}_{Fzy}J(y){)}^4]+\dots \}{Z}_0[J]$$

其中${\mathrm{\Delta }}_{Fzz}={\mathrm{\Delta }}_F(z-z),\mathrm{\Delta }FzyJ(y)=\int dy{\mathrm{\Delta }}_F(z-y)J(y)$

${\varphi }^4$模型的Feynman图

S矩阵