好了，现在我们知道宇宙学的一级相变可以成为现今观察到的宇宙里的暗物质的动力学机制来源的备选，也即暗物质从何而来。那么很自然的可以问出下一个问题：这样一种动力学机制能否解决宇宙的正反物质不对称性的问题呢？

目前量子场论以及宇宙学告诉我们，宇宙是从一个点膨胀而来，无论怎样应该都不会携带今天这样数目的正反物质不对称性。最自然的想法是宇宙一开始就是一片“真空”，能量扰动使得正反物质成对产生。如果是这样，产生出来的正反物质对在宇宙里乱跑，总会相遇，“BOOM”，然后化为光子。

为了解决这一问题，物理学家基于萨哈罗夫提出的三大条件（重子数破坏、C 与 CP 破坏、偏离热平衡），构建了一系列尝试解释物质不对称性的物理机制，主要包括：

1. 电弱重子生成（Electroweak Baryogenesis, EWBG）：该机制巧妙地利用了标准模型及其扩展在电弱能标下的物理。在偏离热力学平衡方面，它依赖于宇宙演化中发生的一阶电弱相变所提供的气泡膨胀动力学；在重子数结构破坏（B-violation）上，依靠相变前对称相中未被指数压低的非微扰 Sphaleron 跃迁作用；CP 破坏则通过相变气泡壁附近粒子的不对称散射来提供。由于其特征能标较低（$\sim \mathcal{O}(100)$ GeV），所以理应会有很显著的现象学可供今天或是近未来的实验观测。但是 EWBG 最大的问题不在 BG，而在 EW 本身：标准模型没法提供足够大的 CP 破坏，也无法提供足够强的一阶相变。[arXiv:hep-ph/0609145, arXiv:1206.2942]
2. 轻子生成（Leptogenesis）：作为中微子跷跷板机制（Seesaw mechanism）的一个自然推论，该机制假设宇宙早期存在极重的马约拉纳中微子。由于这些重中微子在退出热力学平衡后的 CP 不对称衰变，首先产生了宇宙初期的轻子数（L）不对称。随后，在电弱相变发生前，标准模型中的 Sphaleron 过程（同时破坏 B 和 L 但保持 B-L 守恒）将这部分轻子不对称部分转化为了今天观测到的重子不对称。[arXiv:hep-ph/0303024, arXiv:0802.2962]
3. 大统一理论重子生成（GUT Baryogenesis）：这是探究重子生成最早期的物理尝试之一。基于大统一理论（如 $SU(5)$ 或 $SO(10)$），在宇宙演化的极早期、处于极高温能标（$\sim 10^{15}$ GeV）下，超重规范玻色子或标量粒子处于偏离热力学平衡的状态。它们在衰变过程中若存在直接发生重子数破坏和 CP 不守恒的分支，就能在宇宙退耦后留下正反物质的不对称性。[arXiv:hep-ph/9605156] （Stephen Wolfram 在早年甚至和 Kolb 合作做过这方面的文章，参见(Phys.Rev.Lett. 47 (1981) 391-394)。可惜自从写 Mathematica 开始就陷入元胞自动机无法自拔了，刚整出来那几年 Nature 和 PRL 猛刷（开启了计算理论在物理的应用热潮），到后面也陷入沉寂了。不过写 Mathematica 财富自由了倒也是一件美事，而这两年则颇有点走火入魔之势，参见 arXiv:2004.08210。）
4. Affleck-Dine 机制：基于超对称理论中广泛存在的标量场平坦方向（Flat directions）。在宇宙暴胀结束后，携带重子数或轻子数的标量场（通常是由夸克和轻子的超对称伴随场形成的相干凝聚体）因暴胀势的改变而开始相干振荡。在随后的演化和弛豫过程中，由于存在随标量场演化而打破 CP 相位的动力学项，这些超对称凝聚体能极其高效地非微扰动态生成重子或轻子数不对称。[arXiv:hep-ph/0303099, arXiv:hep-ph/0009240]。

背景知识：电弱的 B-L 守恒与 Sphaleron 过程

B 和 L 的破缺与 B-L 守恒

标准模型的对称群为 $SU(3)_C \times SU(2)_L \times U(1)_Y$，在拉氏量层面具有重子数 $B$ 和轻子数 $L$ 守恒。然而，这一经典的对称性会被圈图所破坏，这就是所谓的 ABJ 反常（Phys.Rev. 177 (1969) 2426-2438 和 Nuovo Cim.A 60 (1969) 47-61）。由于 $SU(2)_L$ 规范场只与左手费米子耦合，重子流和轻子流的散度不再为零，而是与规范场的拓扑流（陈-西蒙斯流的散度）成正比：

$$ \partial_\mu J^\mu_B = \partial_\mu J^\mu_L = \frac{N_g g^2}{32\pi^2} \text{tr}(W_{\mu\nu} \tilde{W}^{\mu\nu}) $$

由于重子流和轻子流的反常项完全相同，两者相减便会得到：

$$ \partial_\mu (J^\mu_B - J^\mu_L) = 0 $$

也即手征反常会破坏 $B$ 和 $L$ 守恒，却能保留 $B-L$ 守恒。

Sphaleron 过程的 Washout 效应

标准模型的 Higgs 机制告诉我们，在早期宇宙到今天的物质主导宇宙，至少会经历一次 Higgs 场的对称性自发破缺，也即是电弱相变。在量子场论中，场的跃迁可以有两种过程：一是零温下的纯量子跃迁的 Instanton（瞬子），二是有限温度下的热扰动驱动的 Sphaleron（鞍点子/滑子）。

G. 't Hooft 最早在 1976 年证明了在 Instanton 过程中，真空跃迁会导致规范场的拓扑结构发生变化，也即陈-西蒙斯数 $N_{CS}$ 发生变化（Phys.Rev.Lett. 37 (1976) 8-11 和 Phys.Rev.D 14 (1976) 3432-3450）。规范场的拓扑变化会强迫费米子的能级发生移动，从而改变费米子的数量。由于电弱的 $B-L$ 对称性，在 Sphaleron 过程中重子数和轻子数的变化是相同的，即

$$ \Delta B = \Delta L = 3 N_{CS} $$

而后在 1985 年 V. A. Kuzmin, V. A. Rubakov, 和 M. E. Shaposhnikov 发现了在 sphaleron 过程中也会和 instanton 过程一样，真空跃迁会导致重子数和轻子数的改变（Phys.Lett.B 155 (1985) 36）。他们还指出，由于在相变温度以上，热扰动会持续跨越势垒，导致重子数破坏的过程处于热平衡。

在热平衡中，为了使化学势最低，净的粒子数会趋向低的方向演化。这说明 sphaleron 过程不仅可以用来产生重子，也会抹除（wash out）在电弱相变之前产生的重子不对称性。

轻子生成

现在我们已知 2 点，一是标准模型具有 $B-L$ 守恒，二是电弱相变的 Sphaleron 过程会尽可能抹除在相变之前的重子不对称性。那么，我们能否利用 $B-L$ 守恒来搞点事情呢？

假如在电弱相变前通过某种方法生成足够多的 $B-L$ 不对称性，那么在 $B-L$ 守恒的电弱相变的 sphaleron 过程中，会将这些 $B-L$ 不对称性按照自由能最低的原则分配到重子数和轻子数中，从而产生足量的重子不对称性。而这就是轻子生成产生重子不对称性的动力学。

中微子质量的跷跷板机制

轻子生成还有一个重要的动机，则是可以和解释中微子质量的 Type-I 跷跷板机制（seesaw mechanism）无缝融合。

正如前文所述，在标准模型中，$B-L$ 是一个精确的守恒量。如果我们相信这个精确的全局对称性并非巧合，而存在某种更基础的物理残留，我们可以将其规范化，提升为局域的 $U(1)_{B-L}$ 规范对称性。但当我们这样做时，仅靠 SM 的费米子会导致引力与规范反常不为零。为了拯救这一想法，通常需要引入三个单态费米子，这正好是三代右手中微子 $\nu_R$（Phys.Rev.Lett. 44 (1980) 1316-1319）。

而通过右手中微子，正好能通过马约拉纳质量项来赋予中微子质量，解释为什么左手中微子如此之轻。在标准模型中引入三个右手中微子单态 $\nu_{R}^i$ 后，最一般的规范不变且可重整的拉氏量会新增两项：与 Higgs 场的 Yukawa 耦合项，以及右手中微子的 Majorana 质量项。其拉氏量可以写为：

$$ \mathcal{L}_{yukawa} \supset -Y_D^{ij}\overline{\nu_R^i}H^\dagger \ell_L^j - \frac{1}{2}Y_N^i\Phi\overline{\nu_R^{ic}}\nu_R^i + \text{h.c.} $$

其中 $Y_{D}$ 是与 Dirac 费米子（右手轻子）的 yukawa 耦合，而 $Y_N$ 则是马约拉纳质量项的 yukawa 耦合。在这里选取了使得后面的 yukawa 矩阵对角化的本征态。$\Phi$ 是标量场单态。这一拉氏量也是满足 $B-L$ 对称性的，在这里略去了规范场的部分。

通常来说，习惯定义 $N = \nu_R + \nu_R^c$，从而有 $N = N^c$。于是也可以很方便的把质量项写为（这里用到了同手征的双线性项为零）

$$ -\frac{1}{2} y_N \Phi \overline{\nu_R^c} \nu_R + \text{h.c.} = -\frac{1}{2} y_N \Phi \overline{N} N $$

为了更清晰地展示 $U(1)_{B-L}$ 扩展模型中的粒子内容，下表列出了所有相关费米子与标量场在 $SU(3)_c \times SU(2)_L \times U(1)_Y \times U(1)_{B-L}$ 规范群下的表示与规范荷：

中微子的质量

在 $U(1)_{B-L}$ 和电弱对称性都发生破缺后，标量场 $\Phi$ 获得真空期望值 $v_{B-L}$，而希格斯场获得真空期望值 $v_{EW}$。此时，$(\nu_L, \nu_R)$ 的质量矩阵可以写为

$$ \mathcal{M} = \begin{pmatrix} 0 & m_L \\ m_L^T & M_R \end{pmatrix} $$

其中 $m_L = \frac{Y_D}{\sqrt{2}} v_{EW}$，$m_R = \frac{Y_N}{\sqrt{2}} v_{B-L}$。由于右手中微子是不带任何标准模型规范荷的单态，因此，$M_R$ 的能标不受电弱破缺能标的限制，它可以是一个极其巨大的物理量（通常假设在大统一能标 $10^{10} \sim 10^{15} \text{ GeV}$ 附近）。在这种情况下，对角化后得到的 $M_R \sim m_R$，$M_L \sim -\frac{m_L^2}{m_R}$（此处的负号可以通过选取合适的相位去掉）。

上面的结果非常直观地展示了“跷跷板”的物理图像：右手中微子越重（$M_R$ 越大），我们观察到的左手中微子就越轻（$M_L$ 越小）。这就非常自然地解释了为何中微子质量在 $\text{eV}$ 甚至更低的量级，远远小于电子或夸克等其他标准模型费米子的质量。

$U(1)_{B-L}$ 的破缺

将模型中的其他部分写出来，如下

$$ \begin{aligned} \mathcal{L}_{B-L} &= \mathcal{L}_{yukawa} \\ & + V(\Phi, H) \\ & + D_\mu \Phi^\dagger D^\mu \Phi - \frac{1}{4} Z'_{\mu\nu} Z'^{\mu\nu} \end{aligned} $$

其中 $D_\mu = \partial_\mu - i g_{B-L} X Z'_\mu$，$X$ 是 $B-L$ 算符。

当 $U(1)_{B-L}$ 发生对称性自发破缺时，$\Phi$ 场获得真空期望值 $v_{B-L}$。实验上要求 $v_{B-L} > 3~\text{TeV}$。而为了使左手中微子质量足够小，同时假设马约拉纳质量项的 yukawa 的系数 $Y_N$ 自然的在 $O(0.1)$ 的话，跷跷板机制本身就期望 $v_{B-L}$ 在 GUT 能标附近。

$Z'$ 粒子在 $U(1)_{B-L}$ 发生对称性破缺后，获得质量 $m_{Z'} = X g_{B-L} v_{B-L}$。如果我们追求理论的自然性的话，$U(1)_{B-L}$ 的对称性自发破缺可以是经典共形的势能驱动的。这种情况下，$m_\Phi = \frac{\sqrt{3}}{4\pi} g_{B-L}^2 v_{B-L}$。

需要注意的是，由于 $v_{B-L} \gg v_{EW}$，当 $U(1)_{B-L}$ 发生对称性自发破缺后，电弱对称性仍未被破坏，标准模型中的粒子都还未获得质量。

B-L 不对称性的演化

为了在电弱相变的 sphaleron 过程中获得足够多的净的重子数，在轻子生成中，需要产生足够多的 B-L 数，在这里即为 $l-\bar l$ 数。而 B-L 数的来源即为 $U(1)_{B-L}$ 破缺后的 CP 破坏。在进行计算之前，让我们来重温一下计算粒子数演化的工具——玻尔兹曼方程。

宇宙共动体积下的玻尔兹曼方程可以写为

$$ \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}Y_\psi}{\mathrm{d}z} = -\frac{z}{s H(m_\psi)} \sum_{a,i,j,\dots} &\left[ \frac{Y_\psi Y_a \dots}{Y_\psi^{eq} Y_a^{eq} \dots} \gamma^{eq}(\psi + a + \dots \to i + j + \dots) \right. \\ &\left. - \frac{Y_i Y_j \dots}{Y_i^{eq} Y_j^{eq} \dots} \gamma^{eq}(i + j + \dots \to \psi + a + \dots) \right], \end{aligned} $$

这里的 $\gamma^{eq}$ 是热平衡反应率密度（M. A. Luty, Phys. Rev. D 45 (1992) 455）。用这个记号的好处在于可以统一涵盖多到多的散射过程，而不只是二到二。

比如衰变过程有

$$ \gamma_D := \gamma^{eq}(\psi \to i+j+\dots) = n_\psi^{eq} \frac{K_1(z)}{K_2(z)} \tilde{\Gamma}_{rs} $$

其中 $\tilde{\Gamma}_{rs}$ 是在粒子固定参考系下的衰变宽度，贝塞尔函数的比值是时间膨胀因子，有时候也可以略去。

对于 $2\to n$ 的过程则有

$$ \gamma^{eq}(\psi + a \leftrightarrow i + j + \dots) = \frac{T}{64\pi^4} \int\limits_{(m_\psi+m_a)^2}^{\infty} \mathrm{d}s \, \hat{\sigma}(s) \sqrt{s} K_1 \left( \frac{\sqrt{s}}{T} \right) $$

其中 $\hat{\sigma}(s) = \frac{8}{s} \left[ (p_\psi \cdot p_a)^2 - m_\psi^2 m_a^2 \right] \sigma(s)$。当然换成广为人知的 $\sigma v$ 的记号，则可以被简单的写为 $\gamma^{eq}(\psi + a \leftrightarrow i + j + \dots) = \langle \sigma v \rangle n^{eq}_{\psi} n^{eq}_{a}$。

在轻子生成里，我们主要关注 $N$ 和 $B-L$ 数的演化。需要注意的是在这里，所谓的 $B-L$ 数实际上指的就是 $l-\bar l$ 数。在上节提到的 Type-I seesaw 模型中，会对演化产生主要影响的图有

于是可以写出玻尔兹曼方程

$$ \begin{aligned} \frac{dY_{N_1}}{dz} &= -\frac{z}{sH(M_1)} \left[ \left( \frac{Y_{N_1}}{Y_{N_1}^{eq}} - 1 \right) (\gamma_{D1} + 2\gamma_{h,s} + 4\gamma_{h,t}) + \left( \left[ \frac{Y_{N_1}}{Y_{N_1}^{eq}} \right]^2 - 1 \right) (\gamma_{Z'} + \gamma_{N,t,\Phi}) \right] \\ \frac{dY_{B-L}}{dz} &= -\frac{z}{sH(M_1)} \left[ \left( \frac{1}{2} \frac{Y_{B-L}}{Y_l^{eq}} + \epsilon_1 \left( \frac{Y_{N_1}}{Y_{N_1}^{eq}} - 1 \right) \right) \gamma_{D_1} + \frac{Y_{B-L}}{Y_l^{eq}} \left( 2(\gamma_N + \gamma_{N,t} + \gamma_{h,t}) + \frac{Y_{N_1}}{Y_{N_1}^{eq}} \gamma_{h,s} \right) \right], \end{aligned} $$

第一个式子中的 2 和 4 的因子来源于电荷共轭和粒子交换。而下面这个式子，说实话我还没搞明白。

$N_i$ 的 CP 破坏程度可以用参数 $\epsilon_i$ 来描述

$$ \epsilon_i \equiv \frac{\sum_j \left[ \Gamma(N_i \to \ell_j H) - \Gamma(N_i \to \ell_j^C H^*) \right]}{\sum_j \left[ \Gamma(N_i \to \ell_j H) + \Gamma(N_i \to \ell_j^C H^*) \right]} $$