计算费曼图的对称因子实在不是一个轻松的话题，Peskin的书中就直言
“Most people never need to evaluate a diagram with a symmetry factor greater than 2 ,so th ere’s no need to worry too much about these technicalities.”
虽然，事实也是如此，但是真要碰上，那可要头疼一会了（就像我现在这样）。
那么，到底什么是对称因子呢？我们又要如何计算对称因子呢？网络上的讨论充斥着数学家的炫技和初学者的瞎蒙，实在令人头大。希望这篇文章能够稍微讲明白一点点。
什么是对称因子
这个问题可能太简单了。对称因子无非就是消除在计算时对费曼图的重复计数。好，问题来了，是在计算什么的时候呢？让我们从头讲起。
在量子场论中，我们十分关心散射问题，计算散射问题时，无论是通过路径积分还是正则量子化来表述，都要计算格林函数，也即n点关联函数，才能导出散射振幅来计算散射截面等结论。
在路径积分表述下，n点关联函数可以表示为
$$ \begin{aligned} G_n(x_1,...,x_n) & = \eval{\frac{\delta^n}{i^n \delta J(x_1)...\delta J(x_n)} \int \mathcal D \phi~ e^{i \int dx[\mathcal L + J(x)\phi(x)]}}_{J=0}\\ & = \int \mathcal D \phi e^{i \int d^4x \mathcal L}\phi(x_1)\phi(x_2)...\phi(x_n) \\ & =\left \langle \phi(x_1) \phi(x_2) ... \phi(x_n) \right \rangle = \begin{cases} 0 ~~ n为奇数\\ \sum_{wick}(G(a,b)...G(c,d))~~ n为偶数 \end{cases} \end{aligned} $$
也即奇数点的Green函数为0，偶数点的Green函数为各点所有可能的无向连接的2点Green函数乘积之和。这种求和方式被称为Wick求和（虽然除了王正行以外几乎没有书用这种说法就是了）。
而在正则量子化的表述下，n点关联函数可以表示为
$$ \begin{aligned} G(x_1,...,x_n) & = \bra{\Omega} T{\phi(x_1)...\phi(x_n)} \ket{\Omega}\\ & = \frac{\bra{0} T{\phi(x_1)...\phi(x_n) exp[-i\int \dd T H_I]} \ket{0}}{\bra{0} T{\phi(x_1)...\phi(x_n)} \ket{0}} \end{aligned} $$
在微扰展开下，使用正则量子化的表述更为清晰，下面我们则使用正则量子化的语言。（注：不使用路径积分的原因是在考虑相互作用时，需要在生成泛函中引入外源并证明自由场的生成泛函是高斯积分，从而将相互作用项的场算符变为对外源的求导。这一过程中需要对不同的场的拉氏量进行分类讨论，不具备普适性，并且对外源求导的过程中很难看出物理上的对称性。）那么我们要对什么进行展开呢，很显然上述n点关联函数的表达式里出现了指数，我们是在对相互作用项，也即对相互作用系数进行展开。
$$ \bra{0} T{\phi(x_1)...\phi(x_n) exp[-i\int \dd T H_I]} \ket{0} = \bra{0} T{\phi(x_1)...\phi(x_n) [1 - i\int \dd T H_I + ...]} \ket{0} $$
对于第0阶，对于的就是自由场的传播，不存在相互作用。现在来看第一阶，为方便举例，这里就取$\phi^4$的两点关联函数，利用Wick定理可以进行缩并
$$ \begin{aligned} G_1(x,y)*C & = \bra{0} T{\phi(x)\phi(y) (-i) \int \dd t \int \dd[3] z \frac{\lambda}{4!} \phi^4 } \ket{0}\\ & = \frac{-i\lambda}{4!}\bra{0} T{\phi(x)\phi(y) \int \dd t \int \dd[3] z \phi(z)\phi(z)\phi(z)\phi(z) } \ket{0}\\ & = \frac{-i\lambda}{4!} [3*D_F(x-y) \int \dd[4] z~ D_F(z-z)D_F(z-z) + 12* \int \dd[4] z~ D_F(x-z)D_F(y-z)D_F(z-z)] \end{aligned} $$
这里第一个$3$的因子来源是$\phi(x)$和$\phi(y)$组合，剩下4个$\phi(z)$两两组合成为两个无序对，有3种不重复的组合方式。第二个$12$的因子来源是$\phi(x)$和$\phi(z)$有4种组合方式，而$\phi(y)$和剩下3个$\phi(z)$组合有3种组合方式，于是得到12。示意图可以画成这样，组合方式就请读者自己想象一下了。
第二阶的展开式，则具有两个$\lambda$
$$ \begin{aligned} G_2(x,y)*C & = \frac{1}{2!} (\frac{-i\lambda}{4!})^2 \bra{0} T{\phi(x)\phi(y) \int \dd[4] u \phi(u)\phi(u)\phi(u)\phi(u) \int \dd[4] w \phi(w)\phi(w)\phi(w)\phi(w)} \ket{0}\\ \end{aligned} $$
对于这个图，其组合方式有点多了，这里就不展开写了。但是我们可以发现，这里的$u$和$w$是等价的，交换这两的记号没有任何物理的可观测效应，同时，Wick缩并两两连接产生的是无序对。于是我们可以得到一个很重要的结论：顶点和内线是不可分辨的。
那么既然顶点是不可分辨的，那么n个顶点交换会产生$n!$个排列方式，正好与泰勒展开的系数$\frac{1}{n!}$相抵。同时，每个顶点的4个$\phi$也是不可分辨的，于是顶点上的4条线来自不同的地方时也会贡献$4!$的因子，正好与相互作用的耦合系数中的$\frac{1}{4!}$相抵（实际上就是为了将系数消去所以才在势场中写下$\frac{1}{4!}$的因子的）。于是，看起来十分完美，常数因子都被我们干掉了，大胆地写出费曼规则中顶点的贡献是一个$-i\lambda$。
但是这样的做法是有问题的，还记得我们前面一阶展开的结果吗？由于有顶点上的4个$\phi$相互连接，所以$4!$会造成重复计数。所以我们需要将重复计数给除掉，这就是对称因子的作用。重复计数不光是一个顶点上的相互连接会产生，两个顶点若有多条内线相连接也会出现。一言蔽之：对称因子是用来修正圈图的贡献系数的。
怎么算对称因子
1.瞪眼法
前面提到了，我们是假设了每个顶点上的4条线连接到的地方都不一样所以每个顶点的4个$\phi$交换会贡献$4!$的系数，那么当一个顶点上的多条线连到了等效的不可区分的地方时，则$4!$会重复计数，需要将多计算的图恢复回去。基于这一想法，我们就可以瞪眼瞪出答案啦！（？？？）
比如这张图，图1在一个顶点上有一个圈，圈的两端与顶点连接的$\phi$交换并不会带来新的图，所以对称因子为$S=2$；图2有两条连接到同一个顶点的内线，这两条内线贡献$2*2$，同时注意到这个图除了这个样子，旋转90度的连接方式同样是一个图，所以还要乘2，对称因子为$S=2*2*2$；图3的两个顶点间有三条不可分辨的内线连接，三条内线交换不变，对称因子为$S=3!=6$；图4和图3类似，但是没与外线连接的两个顶点也是不可分辨的，所以交换还会贡献一个2，所以对称因子为$S=2*3!=12$。
好吧好吧，这样说肯定总是不太令人放心，所以还有个方法！那就是写Wick收缩！一写一算就放心了！
2.数学人的喃喃低语
首先，我不会数学。所以这里我就空着了。但是那些搞群论图论的家伙是能说出个一二三四的。
3.万无一失：上程序
实在算不出，或者不放心，咱就用程序吧，别自个为难自个了。
集美们，这个宝藏软件也太好用了吧！本人无意中发现了可以用来生成费曼图并计算对称因子的软件：feyngen，项目主页参见https://github.com/michibo/feyncop，相关文档则在https://michaelborinsky.com/static/feyngencop_manual.pdf。这玩意本意是用来计算些别的东西的，但是嘛用来算对称因子意外的很好用。使用这个软件，很轻松就能得到我们上面附图举的4个例子的对称因子