在场论里面有很多的对称性相关的东西，在碰到旋量的时候钻牛角尖了！所以试着做点笔记！纯粹是写给自己看的东西！
群的定义：集合G + G 上的二元运算$\circ$，满足
- 封闭性
- 单位元
- 逆元
- 结合律
二维旋转：
可用二维旋转矩阵描述（SO(2)）也可用$e^i\theta$（U(1)）描述，说明SO(2)与U(1)间有一同构映射。
三维旋转：
三维旋转矩阵（SO(3)），四元数/2x2复矩阵（SU(2)）。但是SU(2)是SO(3)的双覆盖。（一些系数发挥很大作用的地方，也正是相差一个系数2导致了旋量的出现）
Lie代数：
无穷小变换：$g(\epsilon)=I+\epsilon X$
变换：$h(\theta) = \lim_{N\to \inf}(I+\frac \theta N X)^N = e^{\theta X}$ 故此处的$X$也被称为生成元。
一种变换构成一个群G，那么相应的矩阵Lie代数即为生成元$X$的集合。Lie代数上有运算Lie括号，对于矩阵Lie代数而言，$[X,Y] = XY-YX$
将Lie代数上的运算Lie括号和Lie群的运算结合起来的有BCH公式$e^X \circ e^Y = e^{X+Y+\frac 1 2 [X,Y]+\frac 1 {12} [X,[X,Y]] - \frac 1 {12} [Y,[X,Y]]+...}$
需要注意的是，Lie代数的定义不依赖群，抽象的数学的定义是
Lie代数是一个配备着二元运算[,]的向量空间g，二元运算$[,]:g \times g \to g$，且满足
- 双线性
- 反交换律
- 雅各比恒等式
容易看出，前面我们提到的矩阵Lie代数正好满足以上以上条件。
Lie代数能给出群的生成元满足的条件（Lie括号）但不要求生成元的具体形式，可能能够说明着一些更基本的东西。
现在我们可以来看看前面我们提到的几个群的生成元及Lie代数是怎样的。
SO(3):
$O^TO=I,~det(O)=1$
$O=e^{\phi J}$
$[J_i,J_j]=\epsilon_{ijk} J_k$
SU(2):
$U^\dagger U =I,~det(U)=1$
$U=e^{2\phi J}$
$[J_i,J_j]=\epsilon_{ijk} J_k$
这样我们发现，SO(3)和SU(2)的生成元的Lie代数相同，区别仅在于系数，而系数上的差异也便是SU(2)是SO(3)之双覆盖的原因。
群表示论
群G的表示即为从G到某个向量空间V的全体线性变换组成的集合构成的映射。最具像的例子是，我们在之前用矩阵来描述群对称群的群元，如旋转矩阵即为SO(3)群的一个表示。
一个群可以有多种表示，我们如何找到并标记这些表示呢？可以利用Casimir元实现。Casimir元$C$的定义是，对于任意生成元X，有$[C,X]=0$。Schur引理告诉我们，Casimir元是恒等变换的常数倍，于是这给我们一个思路：可以去找一个不那么平凡的Casimir元，来编号不同的表示。
SU(2)
对于SU(2)群，有生成元$[J_i,J_j]=\epsilon_{ijk}J_k$，我们能找到一个Casimir元$J^2 = J_1^2 + J_2^2 +J_3^2$满足$[J^2,J_i]=0$，同时我们能定义一个升降算符$J_\pm = \frac{1}{\sqrt 2}(J_1\pm i J_2)$。这是不是非常眼熟了，反正经过一些说明，能够得到$J_3$有$2j+1$个本征态，$J^2$作用在$J_3$的本征态上能有本征值$j(j+1)$，于是我们就可以拿这个$j$来标记SU(2)的群表示。
j=0对应着一维表示，结论自然是平凡的。
j=1/2对应着2维表示，$J_3=1/2 diag(1,-1)$，根据对易关系不难得到J1和J2。其实就有$J_i = \frac 1 2 \sigma_i$
j=1对应着3维表示，略了。
Lorentz群 O(1,3)
首先，到底什么是洛伦兹群？Lorentz群定义为Minkowski空间中保证内积不变的变换的集合。写成矩阵形式，就有$\Lambda^T\eta\Lambda=\eta$
根据上面式子，就有$det(\Lambda)=\pm 1$, $\Lambda_0^0=\pm …$。于是可以根据这两的符号，将O(1,3)分为四支，将两个均为正号的一支称为“正规Lorentz变换”，记作$SO(1,3)^\uparrow$。这样有什么意义呢，答案已经在符号里面了，行列式为正值表明变换后不改变坐标系取向（左手右手），00项大于0表明变换保证时间方向不变。
那么我们怎样得到其他三支呢？可以考虑两个变换$\Lambda_P$和$\Lambda_T$，这两算符在(1/2,1/2)表示下的矩阵形式为
$$ \Lambda_P= \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&-1&0&0\\ 0&0&-1&0\\ 0&0&0&-1\\ \end{pmatrix}\\ \Lambda_T= \begin{pmatrix} -1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{pmatrix} $$
$\Lambda_P$称为空间反射算符，也叫宇称算符，$\Lambda_T$称为时间反演算符。
这样两个算符分别以及同时对SO(1,3)+作用一下便能得到另外三支了。
我们都知道Lorentz的一个表示了，就不浪费时间了，直接进入Lie代数部分。
$$ \begin{aligned}[c] [J_i,J_j]&=i\epsilon_{ijk}J_k\\ [J_i,K_j]&=i\epsilon_{ijk}K_k\\ [K_i,K_j]&=-i\epsilon_{ijk}J_k \end{aligned} $$
其中$J_i$是转动的生成元，$K_i$是boost的生成元。Lorentz变换可表示为$\Lambda=e^{iJ\theta+iK\psi}$。
我们还可以定义一种生成元
$$ N^\pm_i = \frac 1 2 (J_i \pm i K_i) $$
这一生成元满足的对易关系为
$$ \begin{aligned}[c] [N^+_i,N^+_j]&=i\epsilon_{ijk}N^+_k\\ [N^-_i,N^-_j]&=i\epsilon_{ijk}N^-_k\\ [N^+_i,N^-_j]&=0 \end{aligned} $$
这正是SU(2)的形式！只不过有两份罢了。好了引入这个玩意有什么用呢？一方面是说明O(1,3)与SU(2)间的联系，另一方面则是，我们要用前面给SU(2)的那套东西为Lorentz群的表示标号，表示成$(j_i,j_2)$的形式。
$(0,0)$表示：十分平凡，就是1啦
$(0,\frac 1 2)$表示：右手Weyl旋量
$(\frac 1 2 ,0)$表示：左手Weyl旋量
$(\frac 1 2,\frac 1 2)$表示：就是四向量那些玩意
那么Dirac旋量怎样进行Lorentz变换呢？Dirac旋量是二分量的Weyl旋量，所以应该是$(0,\frac 1 2)\oplus (\frac 1 2, 0)$表示，就是分块矩阵就是了。（注意$(0,\frac 1 2)\otimes (\frac 1 2, 0)$才是$(\frac 1 2,\frac 1 2)$哦，这样看来四向量和旋量之间有什么不可告人的秘密呢！究竟是什么呢小猫也还不知道喵。）
那么为什么在讲Dirac旋量时还介绍了Clifford代数以及$\gamma$矩阵那套呢？再让我们往后看看。
一般而言，对某个量做对称变换表示为
$$ \varphi^a(x) \to D[\Lambda]^a_b \varphi^b(\Lambda^{-1}x) $$
其中$D[\Lambda]$即为这个对称群的表示。
对于标量场，那么就对应着(0,0)表示的1；对于Weyl旋量场就用$(0,\frac 1 2)$/$(\frac 1 2,0)$表示；对于矢量场就用$(\frac 1 2,\frac 1 2)$表示。
我们可以把Lorentz群的生成元记为$\mathcal M ^{\rho \sigma}$，于是Lorentz变换就可以表示为
$$ \Lambda=exp(\frac 1 2 \Omega_{\rho \sigma} \mathcal M^{\rho \sigma}) $$
可以证明，$\mathcal M$满足
$$ \left[\mathcal{M}^{\rho \sigma}, \mathcal{M}^{\tau \nu}\right]=\eta^{\sigma \tau} \mathcal{M}^{\rho \nu}-\eta^{\rho \tau} \mathcal{M}^{\sigma \nu}+\eta^{\rho \nu} \mathcal{M}^{\sigma \tau}-\eta^{\sigma \nu} \mathcal{M}^{\rho \tau} $$
大概如此。
那么，为什么在谈论旋量的时候，我们引入了Clifford代数$CL(1,3)$呢？答案是这样的。
$$ \{\gamma^\mu,\gamma^\nu\} = 2g^{\mu\nu}\mathbf 1 $$
考虑两个$\gamma$间的对易式$S^{\rho\sigma}$，有
$$ S^{\rho \sigma}=\frac{1}{4}\left[\gamma^{\rho}, \gamma^{\sigma}\right]=\frac{1}{2} \gamma^{\rho} \gamma^{\sigma}-\frac{1}{2} \eta^{\rho \sigma} $$
而$S^{\rho\sigma}$正好满足和$\mathcal M$相同的对易关系
$$ [S^{\mu\nu},S^{\rho\sigma}]=S^{\mu\sigma}\eta^{\nu\rho}-S^{\nu\sigma}\eta^{\rho\mu}+S^{\rho\mu}\eta^{\nu\sigma}-S^{\rho\nu}\eta^{\sigma\mu} $$
这一关系便说明了$S^{\rho\sigma}$为Lorentz群的生成元。
这可不得了，我们发现了惊天大秘密！两个看似毫无联系的代数居然有此种不可告人的关系！
再细究的话会发现正好是Lorentz群的旋量表示，就不展开了。利用$\gamma$矩阵，可以化简许多东西，我们会在QFT里面看到。